初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值一课一练

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值一课一练，共8页。

1．若∠A＝30°，则cs 30°＝ eq \f(1,2) .(×)
2．若∠B为锐角，tan B＝1，则∠B＝45°.(√)
3．若α为60°，则tan α＝ eq \r(3) ，tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(\r(3),2) .(×)
4．若角α＝45°，则sin α＝tan α.(×)
·知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值
1．(概念应用题)30°角的正弦值是(A)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \r(3)
2．(2021·泉州期末)计算：4sin 45°＝__2 eq \r(2) __．
3．(2021·福州期末)计算：3tan 30°＋cs245°－2sin 60°.
【解析】原式＝3× eq \f(\r(3),3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(2) －2× eq \f(\r(3),2)
＝ eq \r(3) ＋ eq \f(1,2) － eq \r(3)
＝ eq \f(1,2) .
4.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【解析】在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝ eq \f(BC,tan A) ＝2 eq \r(3) ，
则EF＝AC＝2 eq \r(3) ，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF·sin E＝ eq \r(6) ，
∴AF＝AC－FC＝2 eq \r(3) － eq \r(6) .
·知识点2 由特殊三角函数值求角
5．若锐角A满足cs A＝ eq \f(\r(2),2) ，则∠A的度数是(B)
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．(2021·厦门质检)已知锐角α满足tan α＝ eq \r(3) ，则锐角α＝__60°__．
·知识点3 同角(余角)三角函数间的关系
7．已知∠A是锐角，sin A＝ eq \f(3,5) ，则5cs A＝(A)
A．4 B．3 C． eq \f(15,4) D．5
8．已知α为锐角，且sin α＝cs 50°，则α＝__40°__．
1．2cs 45°的值等于(C)
A． eq \f(\r(2),4) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \r(2) D．2 eq \r(2)
2．已知锐角∠A满足cs A＝ eq \f(1,2) ，则∠A＝__60°__．
3．(2021·厦门模拟)计算：tan 60°－sin 60°＝__ eq \f(\r(3),2) __．
4．点M(cs 30°，sin 60°)关于x轴对称的点的坐标是__( eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(\r(3),2) )__．
5．若 eq \r(cs A－\f(1,2)) ＋|tan B－ eq \r(3) |＝0，那么△ABC的形状是__等边三角形__．
6．已知α为锐角，当 eq \f(1,1－tan α) 无意义时，计算 eq \r(8) －4cs α－(π－3.14)0＋sin (α－15°)＋( eq \f(1,3) )－1的值．
【解析】∵ eq \f(1,1－tan a) 无意义，
∴1－tan α＝0，
解得：tan α＝1，α＝45°，
则原式＝2 eq \r(2) －4× eq \f(\r(2),2) －1＋0.5＋3＝2.5.
7．嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994 5，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.001 8，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.987 3，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000 0，
sin245°＋sin245°＝( eq \f(\r(2),2) )2＋( eq \f(\r(2),2) )2＝1.
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．
(2)请你对嘉琪的猜想进行证明．
【解析】见全解全析
1．含30°角、60°角的直角三角形三边比值为1∶ eq \r(3) ∶2.如图：
2．含45°角的直角三角形三边比值为1∶1∶ eq \r(2) .如图：
3．为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三角形，利用定义进行推导，如图：
2 30°，45°，60°角的三角函数值
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．× 2.√ 3.× 4.×
【对点达标】
1．A 30°角的正弦值是 eq \f(1,2) .
2．【解析】原式＝4× eq \f(\r(2),2) ＝2 eq \r(2) .
答案：2 eq \r(2)
3．解析见正文
4．解析见正文
5．B ∵cs A＝ eq \f(\r(2),2) ，∴∠A＝45°.
6．【解析】∵tan α＝ eq \r(3) ，∴锐角α＝60°.
答案：60°
7．A 由sin α＝ eq \f(a,c) ＝ eq \f(3,5) 知，如果设a＝3x，则c＝5x，
结合a2＋b2＝c2得b＝4x；
∴cs A＝ eq \f(b,c) ＝ eq \f(4,5) ，
∴5cs A＝4.
8．【解析】∵sin α＝cs 50°，
∴α＝90°－50°＝40°.
答案：40°
__关键能力·综合练
1．C 2cs 45°＝2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) .
2．【解析】∵cs A＝ eq \f(1,2) ，∠A为锐角，
∴∠A＝60°.
答案：60°
3．【解析】原式＝ eq \r(3) － eq \f(\r(3),2) ＝(1－ eq \f(1,2) ) eq \r(3) ＝ eq \f(\r(3),2) .
答案： eq \f(\r(3),2)
4．【解析】M的坐标为( eq \f(\r(3),2) ， eq \f(\r(3),2) )，
则点M关于x轴的对称点为( eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(\r(3),2) ).
答案：( eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(\r(3),2) )
5．【解析】由题意得：cs A－ eq \f(1,2) ＝0，tan B－ eq \r(3) ＝0，
∴cs A＝ eq \f(1,2) ，tan B＝ eq \r(3) ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝60°，
∴△ABC的形状是等边三角形．
答案：等边三角形
6．解析见正文
7．【解析】(1)当α＝30°时，
sin2α＋sin2(90°－α)
＝sin230°＋sin260°
＝( eq \f(1,2) )2＋( eq \f(\r(3),2) )2
＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(3,4)
＝1；
(2)嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°－α，
∴sin2α＋sin2(90°－α)
＝( eq \f(BC,AB) )2＋( eq \f(AC,AB) )2
＝ eq \f(BC2＋AC2,AB2)
＝ eq \f(AB2,AB2)
＝1.