北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试单元测试同步测试题

第1章直角三角形的边角关系单元综合达标测试

一．选择题（共6小题，满分30分）

1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（　　）

A． B．2 C．或4 D．2或4

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为（　　）

A．2 B．8 C． D．

5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（　　）

A．1 B．2 C． D．

6．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为（　　）

A．90° B．60° C．75° D．105°

二．填空题（共10小题，满分50分）

7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 　   　．

8．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠BAD的余弦值为　   　．

9．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于　   　．

10．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　   　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）

11．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝　   　．

12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝　   　．

13．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　   　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

14．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 　   　米．（参考数据：sin20°≈0.34）

15．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为　   　cm．

16．如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为 　   　（结果保留根号）．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，CD＝，解这个直角三角形．

18．如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tanB＝，求AB的长．

19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．

（1）求CD的长；

（2）求tan∠DBC的值．

20．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．

（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；

（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求BD的长．

21．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）

（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．

①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．

②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

参考答案

一．选择题（共6小题，满分30分）

1．解：∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，

又∠B+∠BAD＝90°，

∴∠CAD＝∠B，

∴tan∠B＝，tan∠CAD＝，

∴＝，即AD2＝BD•CD＝3×2＝6．

∴AD＝．

故tan∠B＝＝．

故选：D．

2．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，

当B2C＝2时，

∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，

∴CD＝，

∴AD＝＝3，B2D＝＝1，

∴AB2＝3﹣1＝2，

同理可得，AB1＝3+1＝4，

即AB的长为2或4，

故选：D．

3．解：∵CD是AB边上的中线，

∴CD＝AD，

∴∠A＝∠ACD，

∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，

∴tan∠A＝，

∴tan∠ACD的值．

故选：D．

4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，

∴tanA＝＝＝，

∴BC＝2．

故选：A．

5．解：连接格点MN、DM，如图所示：

则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，

∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，

∴∠CPN＝∠DNM，

∴tan∠CPN＝tan∠DNM，

∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，

故选：B．

6．解：如图所示，

∵ED：AE＝1：，∴∠A＝30°．

∵CF：BF＝1：1，∴∠B＝45°．

∴∠A+∠B＝30°+45°＝75°．

故选：C．

二．填空题（共10小题，满分50分）

7．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，

∵BC＝，BD＝，

∴sin∠ACB＝，

故答案为．

8．解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，

∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，

∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，

在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，

∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，

解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），

当x＝3k时，

∴BH＝AH＝3k，DH＝k，AD＝k，DE＝BE＝k，AE＝2k，

∴cos∠BAD＝＝＝，

故答案为．

9．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，

①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，

∴AD＝ABsinB＝5，BD＝ABcosB＝5，

在Rt△ACD中，∵AC＝2，

∴CD＝＝＝，

则BC＝BD+CD＝6，

∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；

②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD＝5，CD＝，

则BC＝BD﹣CD＝4，

∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．

综上，△ABC的面积是15或10，

故答案为15或10．

10．解：在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，

在Rt△ADE中，可表示tan∠DAE＝＝＝1，

∵tan∠BAC＜tan∠DAE，

∴∠BAC＜∠DAE，

故答案为：＜．

11．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，

∴＝，

∵AB＝2，

∴AC＝6，

∵AC⊥CD，

∴∠ACD＝90°，

∴AD＝＝＝10，

∴cos∠ADC＝＝．

故答案为：．

12．解：延长AD和BC交于点E．

∵在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，

∴BE＝4，

∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，

∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，

∴∠DCE＝∠A，

∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，

∴设DE＝4x，则DC＝3x，

在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，

∴4＝16x2+9x2，

解得：x＝，

则CD＝．

故答案是：．

13．解：由题意可得：

∵∠ABO＝70°，AB＝10m，

∴sin70°＝，

解得：AO＝9.4（m），

∵∠CDO＝50°，DC＝10m，

∴sin50°＝≈0.77，

解得：CO＝7.7（m），

则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），

答：AC的长度约为1.70米．

故答案为：1.70．

14．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，

在Rt△ABE中，

∵sinα＝，

∴AE＝AB×sin20°≈68米，

在Rt△BCG中，

∵sinβ＝，

∴BG＝BC×sin45°≈142米，

∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，

故答案为：210

15．解：过B作BF⊥AC，

由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．

∵tan∠BCA＝＝，

∴CF＝270cm，

∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．

故答案为：240．

16．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

∵山坡AP的坡度为i＝1：＝tanα＝＝，AP＝6米，

∴α＝30°，

∵PE⊥OB，

∴PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），

∵PF⊥OC，∠CPF＝45°，

∴△PCF是等腰直角三角形，

∴CF＝PF，

设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．

在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，

∴∠ACO＝30°，

∴OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），

解得：m＝6+6，

∴OC＝6+6+3＝（6+9）米，

即该居民楼的高度为（6+9）米，

故答案为：（6+9）米．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°．

∴∠B＝30°．又CD⊥AB于D．

∴BC＝2CD＝2．，

∴BD＝＝＝3．

在直角三角形ACD中，∠A＝60°，CD＝

∴AD＝＝＝1，AC＝2AD＝2，

∴AB＝BD+AD＝4．

18．解：过C点作CD⊥AB于D，如图，

在Rt△ACD中，∵sinA＝，cosA＝，

即sin30°＝，cos30°＝，

∴CD＝×2＝，AD＝×2＝3，

在Rt△BCD中，∵tanB＝，

∴BD＝＝2，

∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．

19．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，

∴AD＝＝10，

∴＝＝8．

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，

∴CD＝DE＝8；

（2）由（1）AD＝10，DC＝8，

∴AC＝AD+DC＝18，

在△ADE与△ABC中，

∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，

∴△ADE∽△ABC，

∴，即＝，

∴BC＝24，

∴．

20．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：

证明：由题意可知BC＝AB，DC＝AB，

∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴BC＝DC＝AD＝AB，

∴四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴OB＝OD．

在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cos∠ABD＝，

∴OB＝AB•cos∠ABD＝3，

∴BD＝2OB＝6．

21．解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．

依题意可知，PA＝100海里，∠APD＝90°﹣30°＝60°，∠BPD＝45°．

∴∠A＝90°﹣60°＝30°．

∴PD＝PA＝50（海里），

在Rt△PBD中，∠BPD＝45°，

∴△PBD是等腰直角三角形，

∴PB＝PD＝50（海里）≈70.7（海里）．

答：B处距离灯塔P约70.7海里．

（2）①海轮到达B处没有触礁的危险，理由如下：

依题意知：OP＝150海里，PB＝50海里，

∴OB＝OP﹣PB＝（150﹣50）海里≈79.3海里＞60海里，

∴海轮到达B处没有触礁的危险．

②过点O作OE⊥AB与E，交AB延长线于点E，

则∠OEB＝90°，

∵∠OBE＝∠PBD＝45°，

∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，

∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．