2022-2023学年山东省青岛市黄岛区、胶州市、平度市、西海岸新区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市黄岛区、胶州市、平度市、西海岸新区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的解是(    )

A.  B. ，
C. ， D.

2.    对角线长为的正方形其边长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    某市初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理，化学两个学科中随机抽取一科参加测试，小敏和小慧都抽到化学学科的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    某工厂月份生产机器台，计划，月份共生产台，设，月份生产量的月平均增长率为，则根据题意列出的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移个单位并适当延长，得到如图所示的组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有(    )
    

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

7.    如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是(    )

A.  B. 四边形面积不变
C.  D. 四边形周长不变

8.    一个钢筋三脚架三边长分别为，，，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段允许有余料作为另两边，则不同的截法有(    )

A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种或四种以上

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.    已知，，则______．
10. 若一元二次方程的两个根是，，则的值是______．
11. 比值为约为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，电视机屏幕的宽与长之比就非常接近这个比例．如果某款电视机屏幕的长为厘米，则其宽约为______厘米．精确到厘米
12. 如图，将一个边长为的正方形活动据架边框粗细忽略不计拉动成四边形，若，则______．

13. 某种服装，平均每天可销售件，每件赢利元，网查发现，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要赢利元，每件应降价多少元？设该服装每件降价元，根据题意可列方程______．
14. 如图，在矩形中，点，点分别是边和边的中点，于点，连接，，下列四个结论：；；∽；，其中正确的结论有______只填写序号即可

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    已知：线段，直线及直线外一点．
    求作：矩形，使得边在直线上，，垂足为，对角线的长度为．
     
16. 本小题分
    解方程：配方法；
    解方程：；
    关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时方程的根．
17. 本小题分
    如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求与的长．

18. 本小题分
    如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：

根据以上信息，解析下列问题：
请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是______；精确到
现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；
小明和小亮都购买了超过元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．

19. 本小题分
    数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
    如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是线段上一点，的延长线交于点若，求的值．
    
    【尝试探究】
    在图中，过点作交于点，则的值为______，的值为______，的值为______．
    【类比延伸】
    如图，在原题的条件下，若，则的值为______用含的代数式表示．
    【拓展迁移】
    如图，若点在线段的延长线上，的延长线交的延长线于点，，则的值为______用含的代数式表示．
20. 本小题分
    光明中学准备在校园里利用围墙墙长和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度的水池．已知，劳动基地的总面积不包含水池为，则的长是多少？

21. 本小题分
    如图，在▱中，，相交于点，，分别是，的中点．
    求证：；
    连接，，已知______从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
    条件：；
    条件：．
    注：如果选择条件条件分别进行解容，按第一个解答计分

22. 本小题分
    小睿在做数学练习时，遇到下面的题目．

小睿的计算结果与参考答案不同，因此她对参考容案产生了质疑，下面是她分析、探究的过程，请你补充完整．
第一步，读题，并标记题目条件如下：
在中，为边上一点，，；，，的周长为．
第二步，根据条件，可以求得______；
第三步，做出，如图所示；
第四步，根据条件，在图中作出尺规作图，保留作图痕迹；

第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件______不符填序号，去掉这个条件，题目其他部分保持不变，则的长为______．

23. 本小题分
    如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点，同时停止运动，当点不与，重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，设运动时间为，请解答下列问题：
    当为何值时，？
    点在线段上运动时，是否存在某一时划使得∽？若存在，请求出此刻的值；若不存在，请说明理由；
    当为何值时，为直角三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故选：．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：设这个正方形的边长为，
则，
解可得；
则它的边长是．
故选：．
根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长．
本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，是成比例线段，
：：，
而，，，
．
故选：．
根据比例线段的定义得到：：，然后把，，代入进行计算即可．
本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有：：，那么就说这四条线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意作出树状图如下：

小敏和小慧都抽到化学学科的概率是，
故选：．
根据树状图法得出概率即可．
本题主要考查概率的知识，用画树状图的方法计算概率是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：某工厂月份生产机器台，，月份生产量的月平均增长率为，
该工厂月份生产机器台，月份生产机器台，
又该工厂计划，月份共生产台，
所列方程为．
故选：．
根据该工厂月份的产量及，月份生产量的月平均增长率，可得出该工厂月份生产机器台，月份生产机器台，再结合该工厂计划，月份共生产台，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，等边三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以菱形相似；
矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定是相似多边形；
正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似．
故选：．
此题是相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
此题考查了相似多边形的性质，关键是熟练掌握相似多边形的性质及判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：设两张等宽的纸条的宽为，
纸条的对边平行，
，，
四边形是平行四边形．
又，
，
四边形是菱形，
．
故选：．
设两张等宽的纸条的宽为，由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将长的作为一边，将长的截成两段，
设从的钢筋上截下的两段分别长，，
当长的边对应长的边时，，，，，所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，，，，，所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，，，，，所以此截法可行．
综上可知，截法有两种，
故选：．
根据相似三角形对应边成比例，列方程即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，解题时，只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出等式，求解即可得出另一边的长度．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据等比性质，
，
．
故答案为．
根据等比性质，可知．
本题考查了比例的等比性质，正确运用等比公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
，
故答案为：．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算可得，，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】截：电视机屏幕的宽与长之比非常接近黄金分割比，
宽，
其宽约为厘米，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设与相交于点，
原来四边形为正方形，
四条边相等，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
 ．
故答案为：．
设与相交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，然后再在中，利用勾股定理求出，从而求出的长．
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设每件应降价元，
依题意得：，
故答案为：．
利用总利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
∽，
，
是的中点，
，
，
即，故正确；
∽，
，
：：，
，故错误；
，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，故正确；
设与的交点为点，
四边形是矩形，
，，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，故正确；
故答案为：．
根据矩形的性质得到，，得∽，得，，便可判断；根据等高的三角形的面积比等于底边之比，得出的面积与的面积关系，便可判断；由互余角性质证明，根据有两个角对应相等的两个三角形相似得∽，便可判断；证明，，得四边形是平行四边形，得，证明，进而证得垂直平分，得，便可判断．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线，关键证明三角形相似．
 

15.【答案】解：如图，矩形为所作．
 

【解析】先过点作的垂线，垂足为点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于点，然后分别以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．
 

16.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，即，
，
，；
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
取，，
则方程为，
，
，
． 

【解析】利用配方法求解即可；
先将已知方程转化为一般式方程，然后再利用配方法求解即可；
由根的判别式，可得出：若，，则原方程为，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，牢记“当时，方程有两个不相等实数根”．
 

17.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
的长为，的长为． 

【解析】由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率约是精确到；
故答案为：；
摸球抽奖规则：把个白球和个黑球放入一个不透明的袋子个球除颜色外都相同，顾客购物满元即可获得一次摸球的机会，当摸到白球时奖品为纸巾，摸到黑球时奖品为免洗洗手液；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数为，
所以两人都获得纸巾的概率为．
利用频率估计概率，用转动转盘次的频率去估计概率；
利用概率公式设计一个摸球游戏规则，使摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两人都获得纸巾的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了列表法与树状图法．
 

19.【答案】      

【解析】解：如图，作交于点，

，
，
，
，，
，
又点是边的中点，
为的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：，，；

如图，作交于点，

，
，
，
，，
，
又点是边的中点，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：；
如图，作交于点，

，
，
，
，，
，
又点是边的中点，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，根据相似三角形的性质和平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可得到结论；
 过点作交于点，根据相似三角形的性质和平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可得到结论；
过点作交于点，根据相似三角形的性质和平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 

20.【答案】解：设的长是，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或不符合题意舍去，
答：的长是 

【解析】设的长是，则，由题意：劳动基地的总面积不包含水池为，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，分别是，的中点，
，
在和中，
，
≌，
；
选择条件，
，，，，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
选择条件，
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，从而利用证明≌；
若选择，由可说明，则四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得，利用含角的直角三角形的性质得，则，从而▱是菱形；若选择连接交于点，同理可得四边形是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得，即，从而证明结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
 

22.【答案】     

【解析】解：第一步，读题，并标记题目条件如下：
在中，为边上一点，，；，，的周长为．
第二步，根据条件，可以求得；
第三步，做出，如图所示；
第四步，根据条件，在图中作出尺规作图，保留作图痕迹；

第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件不符合．
设于点，过点作于点．
，，
，
，，
∽，
，
，
，
．
故答案为：，，．
根据题意解决问题即可．构造相似三角形求出即可．
本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是理解题意，学会构造相似三角形解决问题．
 

23.【答案】解：在中，由勾股定理得，
，
当时，
∽，
，
，
解得，
时，；
当∽时，
，

，
解得，
时，∽；
当点在上时，如图，设与交于点，

点关于直线的对称点，
，
，
，
，，
，，
，
，
解得，
当点在上时，同理可得，则，
，，
，，

，
解得，
综上：或时，为直角三角形． 

【解析】当时，得∽，则，代入计算即可；
当∽时，得，代入计算即可；
分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用三角函数表示出和的长，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键．