2021-2022学年浙江省金华市东阳市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省金华市东阳市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生成绩的(    )

A. 中位数 B. 方差 C. 平均数 D. 众数

3.    用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

8.    利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设(    )

A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于
C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于

9.    如图，直线与双曲线相交于、两点，已知点坐标为，当时，的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D. 或

10. 如图，直线交正方形的对边、于点、，正方形和正方形关于直线成轴对称，点在边上，点在边上，、交于点，、交于点以下结论错误的是(    )

A.
B. 的周长等于线段的长
C. 的周长等于线段的长
D. 的周长等于

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 二次根式中的取值范围是______．
12. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是______边形．
13. 设，，则的值是______．
14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为______．
15. 如图，双曲线经过等腰的两顶点、，已知，轴交轴于点，过点作轴于点，且，则的值______．

16. 如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．
    若曲线与直线有唯一的公共点，则______；
    若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连，若，求的取值范围．

20. 本小题分
    某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
    表中______；______．
    求出乙得分的方差．
    根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．

21. 本小题分
    如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
    求证：四边形是平行四边形．
    如图，连交于点，若，，求的长．
     
22. 本小题分
    某商家购进一批产品，成本为元件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为元时，线下月销量为件，售价每增加元，线下月销量就减少件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为件，且每件产品商家需多付元快递费．设线下月销量件，售价为每件元．
    求关于的函数关系式．
    当售价为多少时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠？
23. 本小题分
    如图，在边长为的正方形中，点、分别在边、上，且，，作、，与交于点，分别在、上截取，，连结、交于点．
    四边形的面积______四边形的面积填““、“”，或““；
    比较与大小，并说明理由．
    求四边形的面积．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连．
    求直线的解析式．
    当为中点时，求的长．
    在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：有名学生参加比赛，一名学生想知道自己能否进入前名，
这名学生要知道这组数据的中位数，
故选：．
根据题意，可以选取合适的统计量，从而可以解答本题．
本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
．
故选B．
本题主要考查配方法解一元二次方程．
把方程的常数项移到右边，然后左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的选项即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：矩形的面积，
所以的面积，
由题意得，四边形的面积．
故选：．
根据平移至可得，四边形是平行四边形，再证明▱的面积等于矩形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同等等高的两个三角形面积相等”求出的面积．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
解得，
故选：．
反比例函数，当时图象在第一、三象限即可得答案．
本题考查反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的判定和作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．根据菱形的判定和作图根据解答即可．
A、由作图可知，，且平分，即一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、由作图可知，，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知，，只能得出四边形是平行四边形，错误；
D、由作图可知，，对角线平分对角，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
故选：．
【解答】
解：如图，由作图过程可知：，

，
，，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
根据线段的垂直平分线的性质可知，
所以一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；
且，
四边形是平行四边形，
，
，
根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；
如图，由作图过程可知：，，

四边形是平行四边形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不是菱形，不符合题意；
如图，根据作图过程可知：
，，
，
≌，
，，
，

四边形是平行四边形，
，，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两不等式的解集的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于．
故选：．
熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在直线上，
，
即，
点，
由两个函数的图以及交点坐标可知，
当时，，
当时，，
故选：．
根据一次函数与反比例函数的图象以及交点坐标，将，分为和两段分别进行解答即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解反比例函数的图象和性质是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形和正方形关于直线成轴对称，假设正方形的边长为，
设，，
，，
中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∽，
，
，
，，
正方形和正方形关于直线成轴对称，
，，，
，
，
将代入上式得：，
，故A选项符合题意，
正方形和正方形关于直线成轴对称，
，
，
，
则，
将代入上式得：，故B不符合题意，
同理：，
，
则，故C符合题意，
，
，
的周长等于，故D不符合题意，
故选：．
假设正方形的边长为，设，，再根据正方形和正方形关于直线成轴对称，得出，，证明∽，可知和的代数式，通过两正方形关于直线成轴对称，表示出和即可判断选项；由图可得出，算出的周长与的表达式对比即可；同理．
本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】五 

【解析】解：边数．
故答案为：五．
用多边形的外角和除以即可．
本题考查了多边形的外角和等于，是基础题，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，





，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
由题意可知，，，
，
，
解得舍去，
，
双曲线经过等腰的两顶点、，
，
故答案为：．
设，由题意可知，，，利用勾股定理得到，得到，解方程求得的值，进一步求得的值．
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，表示出、的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：由题意得：只有一组解，
有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：；
由，得，，
线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，．
当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；
当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；
若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间，
当曲线经过点时，；
当曲线经过点时，．
的取值范围为：．
故答案为：．
联立一次函数与反比例函数的解析式，得到，则方程有两个相等的实数根，所以，由此可得出结论；
根据直线上点的坐标特点，可得出线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，结合图象分析可知，若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间，由此可得出结论．
本题属于一次函数与反比例函数图象类问题，主要考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，数形结合思想等知识；找出线段上所有的整数点，结合图象分析是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程公式法，解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
一次函数解析式为；
直线交轴于点，
点，
，
，
，
． 

【解析】将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
先求出点坐标，由面积关系可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
甲的中位数，
出现了次，出现的次数最多，
众数是，
故答案为：，；
乙的方差为：；
应选甲参赛较好答案不唯一，
理由：从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
根据中位数和众数的定义求出、的值；
根据方差的定义列式计算即可；
答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案．
本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为▱的边、的中点，
，
在与中，

≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
，
即，
，
，
为的中点，
是的中位线，
． 

【解析】证≌，得，，则，再证，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，再证，然后证是的中位线，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：售价每增加元，线下月销量就减少件，
设关于的函数关系式为．
售价为元时，线下月销量为件，
，
，
关于的函数关系式为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客得到更多优惠，
．
答：当售价为时，线上和线下的月利润共可达到元，且让顾客得到更多优惠． 

【解析】根据题意，可设关于的函数关系式为，结合当时，即可求出值，进而可得出关于的函数关系式；
根据线上和线下的月利润共可达到元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客得到更多优惠，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
、，
四边形，四边形是矩形，
，，正方形的边长为，
，，
四边形和四边形是正方形，
，
故答案为：；
，
理由：
四边形是正方形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，连接，过作于点，

，
，
，
，
，
．
根据正方形的性质以及、可知四边形和四边形是矩形，正方形的边长为，，，则，，计算面积即可比较；
证明≌即可；
连接，过作于点，容易证明的面积等于面积的倍，故阴影的面积等于的面积的一半．
本题考查了正方形的性质，解题的关键熟记正方形的性质并灵活运用．正方形的性质：
     正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
     正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
     正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
     两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
 

24.【答案】解：矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，
点，点，
设直线的解析式：，
代入点，坐标，
得，
解得，
直线解析式：；
为的中点，
，
在矩形中，，
，
又，
≌，
，，
，
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
得，
解得，
；
存在以、、、为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：
以，为边，
则，
，
为的中点，
由可知点，点，
根据平移的性质，可得点的坐标为，
点的横坐标为；
如图，

以，为边，，
延长至，使，在的延长线上截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
设，
在中，，，，
，
，
，，
，
点横坐标为：；
如图，

以，为边，，
作于，连接，作与，
可得，，
平分，
，，
设，
在中，，，，
，
，
，
，
综上所述：点横坐标为：或或． 

【解析】设直线的解析式：，将，两点坐标代入，进而求得结果；
设，可证得≌，进而在中，根据勾股定理列出方程，进一步求得结果；
当以，为边时，根据可求得点和点坐标，进而求得点横坐标；当以，为边时，延长至，使，在的延长线上截取，连接，
可推出平分，从而得出，可证得≌，进而求得点点坐标，在中，根据勾股定理列出方程，进一步可求得点横坐标；当，为边时，作于，连接，作与，可推出平分，设，在中，根据勾股定理可求得，进而求得点横坐标．
本题考查了矩形性质，菱形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是寻找数量关系，用勾股定理方程．