2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷-（含解析）

2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知那么下列各式正确的是(    )

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

2.    在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为米，在地面上的影长为米，同时一古塔在地面上的影长为米，则古塔高为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.    在中，，如果，，那么的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判定的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列命题中，假命题是(    )

A. 任意两个正方形一定相似 B. 任意两个边长相等的菱形一定相似
C. 任意两个等边三角形一定相似 D. 任意两个等腰直角三角形一定相似

6.    如图，四边形是平行四边形，的平分线交于，交于，交的延长线于那么下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.    已知，那么代数式的值是______．
8.    如果两个相似三角形的面积比是：，那么它们对应高的比是______ ．
9.    已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是______．
10. 在比例尺为：的地图上，甲乙两地的距离是厘米，那么甲乙两地的实际距离是______千米．
11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为：，周长之和为，则较小的三角形的周长为______．
12. 在中，，，，那么的长是______．
13. 如图，已知如果，，，那么的长是______．

14. 在中，，，点在边上，如果，那么的长是______．
15. 在中，，已知，，是的平分线，那么的长是______．
16. 已知∽，如果三边长分别是，，，的两边长为，，那么它的第三边长是______．
17. 在中，，如果，，那么的长是______．
18. 如图，点、分别在边长为的正方形的边、上，、，正方形的四边分别经过正方形的四个顶点，已知，那么正方形的边长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    如图，在梯形中，，对角线和交于点，且．
    设，，如果：：，求用含、的式子表示；
    如果，，求梯形的面积．

21. 本小题分
    如图，是某工厂一块三角形剩余料，边，高小王将这块余料加工成正方形零件，使一边在边上，其余两个顶点分别在、边上，求这个正方形零件的周长．

22. 本小题分
    如图，在中，，，点在边上，，垂足为，点在延长线上，，，．
    求：的长；
    的值．

23. 本小题分
    如图，在中，点、分别是边、上的点，和交于点．
    如果求证：；
    如果，求证：是的中线．

24. 本小题分
    如图，正方形的边长为，点是边上的一点．
    当时，求点到直线的距离；
    将正方形沿直线翻折后，点的对应点是点，联结交正方形
    的一边于点，如果，求的长．

25. 本小题分
    如图，在中，，，，是斜边上的中线，点是线段延长线上一点，点是线段的中点，联结交于点．
    求证：；
    如果，联结，点在线段上，当点满足怎样的条件时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？
    当时，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意；
B、由比例的性质，得与一致，故此选项符合题意；
C、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意；
D、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意．
故选：．
根据比例的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．比例的性质：内项之积等于外项之积．
 

2.【答案】 

【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为，
则可列比例式，，解得．
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似
本题考查同学们利用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

在中，．
故选：．
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，则，不一定成立，故选项A符合题意．
，
，
，故选项B不符合题意．
，
，故选项C不符合题意．
，
，故选项D不符合题意．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
 

5.【答案】 

【解析】解：、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；
B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；
D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用相似形的定义进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
∽，∽，
，，
，
即．
所以选项D正确，
故选：．
解答此题的关键是利用平行四边形证明出∽，∽，然后利用对应边成比例即可解答此题．
此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
已知，则设，，把和的值代入代数式化简即可．
本题考查了比例的性质，根据已知设出，是解题的关键．
 

8.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的面积比是：，
两个相似三角形相似比是：，
它们对应高的比是：．
故答案为：：．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义得，即可得出结论．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．
 

10.【答案】 

【解析】解：设甲乙两地的实际距离为厘米，
根据题意得，：：，
解得，
厘米千米．
即甲乙两地的实际距离为千米．
故答案为：．
根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为该相似比为：，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为，
故答案为：
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比来解答．
本题考查对相似三角形性质的理解：
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方；
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．
故答案为：．
利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得，
．
故答案为：．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：

等腰中，，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
设，则有，，
∽，
，即，
整理得：，
解得：负值舍去，
．
的长是．
故答案为：．
等腰三角形中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由，得到，，再由为公共角，得到三角形与三角形相似，最后根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作交的延长线于，
，是的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过作交的延长线于，根据角平分线的定义得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
解得，
所以的第三边长为．
根据相似三角形的性质列出比例式，求出第三边的长即可．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键根据性质列出比例式，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：解法一：过作，垂足为，在上取点，连接，使，

，
，
，
，，
，
，
，即，
故答案为：．
解法二：作平分交于，

，
，
，
平分，
，
设，，，
，
∽，
，
，即，
解得，
．
故答案为：．
解法一：过作于点，在上取点，连接，使，从而构造出等腰三角形和，然后利用勾股定理就可求得的长度．
解法二：作平分交于，所以，再根据两角相等证明∽，最后根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
 

18.【答案】 

【解析】解：、，，
，，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
同理可求：，
，
正方形的边长为，
故答案为：．
通过证明∽，可求的长，同理可求的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
；

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用三角形法则求出，再利用平行线分线段成比例定理求解；
，求出，可得结论．
本题考查平面向量，梯形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设正方形的边长为，则，
，
，
∽，
，即，
解得．
该正方形零件的边长是，
这个正方形零件的周长为． 

【解析】设正方形的边长为，则，，通过证明∽，利用相似三角形的性质可得到，解方程求出即可．
本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解；
由锐角的余切定义，即可求解．
本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出，的长；由射影定理求出的长．
 

23.【答案】证明，
，
，
∽，
，
又，
∽，
，
；
过作交于，

，
，
，
，
即，
，
，
为的中点，是的中线． 

【解析】根据，得到比例式，又因为成比例的边的夹角相等，证明∽，所以对应角，再因为对顶角相等得到
∽，最后根据相似三角形的性质即可证明；
过作交于，根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明．
本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
 

24.【答案】解：连接，过点作于，过点作于，

正方形的边长为，，
，，
，
，
，
点到直线的距离为；
如图：连接，

由翻折得，，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
． 

【解析】连接，过点作于，过点作于，利用面积法即可求解；
根据翻折的性质得，，可得，证明四边形是平行四边形，则，，可得，根据等角的余角相等可得，则，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质、正方形的性质、三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

25.【答案】证明：如图中，连接，．

，，
，
∽，
，
；

解：如图中，当时，四边形是菱形．

理由：，，
，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形；

解：如图中，过点作于点．

在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】如图中，连接，证明，推出∽，推出，可得结论；
如图中，当时，四边形是菱形．根据邻边相等平行四边形是菱形证明即可；
如图中，过点作于点利用面积法，勾股定理求出，，再证明，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．