2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列事件中，必然事件是(    )

A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. 是实数，
C. 某运动员跳高的最好成绩是米
D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品

2.    一条弧所对的圆心角为，那么这条弧所对的圆周角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    抛物线可由抛物线如何平移得到的(    )

A. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
C. 先向上平移个单位，再向左平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位

4.    一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是(    )

A. ， B.  C.  D.

5.    如图，四边形内接于圆，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    二次函数，自变量与函数的对应值如下：说法正确的是(    )

A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最大值是 D. 抛物线的对称轴是直线

7.    如图，、、、在上，是的直径．若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，在直角坐标系中，点、点、点，则外接圆的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，其图象如图所示，现有下列结论：
    ，
    ，
    ，
    ，
    不等式的解集．
    其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 二次函数图象的顶点坐标为______．
12. 若正六边形外接圆的半径为，则它的边长为______．
13. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______．

14. 随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是______ ．
15. 在以为圆心为半径的圆周上，依次有、、三个点，若四边形为菱形，则弦所对的弧长等于______．
16. 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    现有根小木棒，长度分别为：，，，单位：，从中任意取出根．
    列出所选的根小木棒的所有可能情况；
    如果用这根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．
18. 本小题分
    已知二次函数，当时，；当时，．
    求这个二次函数表达式．
    此函数图象与轴交于点，在的左边，与轴交于点，求点，，点的坐标．
    该函数值能否取到？为什么？
19. 本小题分
    小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

20. 本小题分
    如图已知四边形内接于圆，连结，，．
    求证：．
    若圆的半径为，求的长．

21. 本小题分
    “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
    直接写出与的函数关系式；
    设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 本小题分
    如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，，与交于点．
    求证：．
    当时，求的度数．
    连结，若，，求的长．

23. 本小题分
    设二次函数是常数．
    当时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
    试判断二次函数图象与轴的交点情况；
    设二次函数的图象与轴交于点，当时，求的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是随机事件，故不符合题意，
B、是必然事件，符合题意，
C、是不可能事件，故不符合题意，
D、是随机事件，故不符合题意．
故选：．
一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
本题主要考查了必然事件为一定会发生的事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
 

2.【答案】 

【解析】解：一条弧所对的圆心角为，
这条弧所对的圆周角．
故选：．
直接根据圆周角定理进行解答即可．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线可由抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位平移得到，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律解答即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有，
整理得，，
故选D．
由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出、的关系．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
．
故选：．
由四边形内接于，可得，又由邻补角的定义，可证得继而求得答案．
此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数据可得：当和时，对应的值相等，
故函数的对称轴为：直线，且数据从到对应的值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，时，随的增大而增大．
故选项A，，都错误，只有选项D正确．
故选：．
直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
是的直径，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出的度数，根据直径所对的圆周角是直角，求出的度数，得到答案．
本题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
点与点关于轴对称，
，
，
由，可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确．
故选：．
由点，的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项A、；再根据，的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故C选项正确．
考查一次函数、二次函数上点的坐标特征，可以采用排除法得出答案．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
、，
轴，
，
为外接圆的直径，
，，
，
外接圆的半径为．
故选：．
连接、，如图，利用、点的纵坐标相同得到轴，则根据圆周角得到为外接圆的直径，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和坐标与图形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，，
，
故错误；
由于，所以，
又，
所以，
故错误；
由图象知，，．
，
即，
故错误；
当时，的值最大，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，
故正确；
二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，
二次函数图象经过，
，
不等式的解集，
故正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断，由抛物线与轴的交点判断，然后根据对称轴判断，从而判断结论；由，可以判断；由函数的最大值，可以判断；由时函数值最大，可以判断；由二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，可以得出抛物线经过，从而可以判断．
本题主要考查了二次函数系数与不等式组之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据二次函数顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于，则正六边形的边长是．
故答案为．
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
的解集是或，
的解集是或，
故答案为：或．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：由树状图可知共有种可能，至少有一次正面朝上的有种，所以概率是．
依据题意先用分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接，如图，
四边形为菱形，
，
和都是等边三角形，
，
弦所对的劣弧的长，
弦所对的优弧的长，
即弦所对的弧长等于或．
故答案为或．
连接，如图，先利用菱形的性质可判断和都是等边三角形，则，于是可根据弧长公式计算出弦所对的劣弧的长，然后利用圆的周长减去弦所对的劣弧的长可得到弦所对的优弧长．
本题考查了弧长公式：圆周长公式：弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了菱形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线，
顶点坐标为，
抛物线过点，两点，
，
线段的长不大于，当时，
由图可知：，
，
的最小值为：；
故答案为．
   
根据题意得，解不等式求得，根据二次函数的性质把代入代数式即可求得．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出是解题的关键．
 

17.【答案】解：所有可能情况：、、、； 

能搭成三角形的情况有种，
能搭成三角形的概率为． 

【解析】利用列举法即可列举出所选的根小木棒的所有可能情况；
由能搭成三角形的情况有种，利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意要不重不漏，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：把时，；时，代入得，
解得，
这个二次函数表达式为；
令，则，
解得，
，，
令，则，
；
，
函数的最小值为，
函数值不能取到． 

【解析】把时，；时，代入，求得、的值即可求得；
令，解方程求得、点的坐标，令，求得，得到点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得的面积；
把中求得的解析式化成顶点式，求得函数的最小值为，故函数值不能取到．
本题考查了抛物线和轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中配成紫色的有种，配不成紫色的有种，
，
，
因此游戏是公平的． 

【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．
 

20.【答案】证明：四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
由圆周角定理可得：的度数为：，
故，
答：的长为． 

【解析】直接利用圆周角定理得出的度数，再利用求出答案；
首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出的度数是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
由题意得：

，
，抛物线开口向下，
有最大值，即当时，，
此时，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润，最大利润为为元． 

【解析】根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与的函数关系式；
该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：为直径，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，

，是的中点，
是的中点，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得出，，进而得出，即可证明；
由圆周角定理得出，结合，得出，再根据等腰三角形的性质即可求出的度数；
连接，由，是的中点，得出是的中点，由圆周角定理，直角三角形的性质结合，得出，继而证明∽，由相似三角形的性质得出，进而求出的长度．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：当时，二次函数．
该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
令，
，
该一元二次方程无解，
二次函数图象与轴无交点；
令，
，
，
当时，的最小值为，
当时，的最大值为． 

【解析】将代入二次函数解析式，再把函数解析式化成顶点式即可得出结论；
判断根的判别式的正负即可得出结论；
用表达，利用二次函数的性质可得出的最大值．
本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的解以及二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题基础．