高考第一轮复习第41讲高中数学中的对称问题

这是一份高考第一轮复习第41讲高中数学中的对称问题，共16页。试卷主要包含了已知点M，曲线关于直线对称的曲线方程是，已知直线l1，反之亦验证成立，定义在R上的非常数函数满足等内容，欢迎下载使用。
                     第四十一讲高中数学中的对称问题                      A组1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为（    ）A.（a，b）    B.（b，a）C.（－a，－b）   D.（－b，－a）解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．2.曲线关于直线对称的曲线方程是（   ）A.     B.    C.     D.解析：设曲线关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所以，即3.已知直线l1：和直线l2：，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（   ）A.=   B.p=－5   C.m=－n且p=－5    D.=－且p=－5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为，即，与l2比较，∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.4.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（    ）    A. 是偶函数，也是周期函数    B. 是偶函数，但不是周期函数    C. 是奇函数，也是周期函数    D. 是奇函数，但不是周期函数    解：因为为偶函数，所以。    所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。5.直线上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.若，且，则的最小值为            ．解  （利用基本不等式、对勾函数）又，由对勾函数性质知，当时，此处，用到基本不等式，当且仅当时，等号成立，即当时，有最小值三、解答题7.  求直线关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。  分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为。  解：由直线l与平行，故设直线l方程为。由已知可得，点P到两条直线距离相等，得解得，或（舍）。则直线l的方程为8.如图双曲线y=(k<0)与直线y=kx（k<0）交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC。    解：因为反比例函数的图象关于原点对称，直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称。所以OA=OB,所以。设点A坐标为（a，b）,由题意得AC=|a| ,OC=|b|，则S△AOC= = ||。所以S△ABC=|ab|9.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点          B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴k==－2.故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有×（－1）=－1，++1=0.      x2=3，y2=0，即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程. 11.已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，） 解方程组得交点P（，）                               故点P（，）、Q（0，）即为所求                           B组1.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为A.                   BC.                  D.解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），即得2.与直线关于点（1，－1）对称的直线方程为A.2x－y－5=0                         B.x+2y－3=0C.x+2y+3=0                           D.2x－y－1=0解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C3.设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（    ）    A. 2002     B. 2003     C. 2004     D. 2005    解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有    故，应选（C）。4. 函数的图像的一条对称轴的方程是（    ）        解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。   5.已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.答案：  （，0）6. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________    解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；    又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以7.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)= f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.
　　解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x)　　 ①
　　 f(-x)=f(20+x)　　 　　　　　　　　　　　　　②
　　另一方面,f(20-x)= f(20+x)　　 　　　　　　　　③
　　(1)由①③得f(x)= f(x+20)　　 　　　　　　　　 ④
　　∴由②④得f(x)= f( x)
　　∴f(x)为奇函数.
　　(2) 再由④得f(x+20)= f(x)
　　∴f(x+40)= f(x+20)=f(x)
　　即f(x)是周期函数,且40是它的一个周期,
　　于是由(1)、(2)知,这里的f(x)为奇函数,并且是以40为一个周期的周期函数。8. 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解  方法一  由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.方法二  设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.∴，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0. 9. 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）.x+2y－7=0，x－2y+2=0，故点P（，）、Q（0，）即为所求.11.已知f(x)＝a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值                                               C组1.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是                                 （     ）       (A)         (B)         (C)         (D) 解析：有图知：2.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于(  )A.  4sin             B. C.                D. 解析  三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的 已知椭圆E,上存在关于直线l，y=4x+m对称的两点A与B,则m的取值范围是（  ）    A           B     C            D 解析：设A(x1，y1），B(x2,y2)则                 ④     ⑤由得⑥由④⑤得代入解得,4.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________    解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以5.对于函数f(x)=Asin( x+ )( >0, )给出四个论断.
　①它的图象关于直线x= 对称;②它的图象关于点( ,0)对称;
　③它的周期为 ;④它在区间[－ ,0]上为单调增函数.
　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　 .
　解①.、③ ②、④或②、③ ①、　　 ④6.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为            ．解析：本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共6种不同的情况，并且这6种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共3种情况，因而概率为；其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是相同的，因而可以认为甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率应该是相同的，而这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都为．7.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ２+１，求当χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.
　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数 f(χ)的图象关于直线 χ=2对称知，
　　对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)= f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）
　　又f(χ) 为偶函数 f(-χ) =f(χ)
　　∴由以上两式得 f(χ+4) =f(χ)　　　　 ①
　　∴f(χ)为周期函数且4是 f(χ)的一个周期.
　　而当χ∈［-６，－2］时4+χ∈［-2，2］
　　∴由已知条件得　　 f(4+χ) =-(χ+4)2+1　　 ②
　　于是由①，②得　　 f(χ) =-(χ+4)2+1，
　　即当χ∈［-６，－2］时，f(χ)= －χ２-8χ-158. 已知正比例函数y=ax (a≠0)和反比例函数y= (b≠0)（ab>0）的图像相交于点A、B，已知点A坐标为（，-2），求点B的坐标。分析：学生在求B点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路，将A（，-2）,代入函数解析式求出a、b，再联立方程组进而求得点B的坐标。确实这样的解题方法很容易就让学生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用函数图象的对称性，则很容易求得B点的坐标。解：因为正比例函数y=ax和反比例函数y=的图象都关于原点对称，所以两交点的坐标也关于原点对称，所以B（-，2）。9.若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围  解法一：（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：∵　　∴　 代入得　有两个不同的解，∴　解法二：（对称点法）设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上 则  必有两组解(1)-(2)得    必有两个不同解∵，∴有解 从而有    有两个不等的实数解即   有两个不等的实数解 ∴    ∵ ， ∴ 10. 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|－|PB|最大.解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.  +2·－2=0，·（－）=－1.  x1=－，y1=－.由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.11. 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.∵kAB==－，∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－.∴y12+y22=x1+x2=1－.由y12+y22>，得1－><0－2<k<0.解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），    =－－1=k（－1）y1+y2=－k，y1y2=+－，∴y1、y2是方程y2+ky++－=0的两根.由Δ=k2－4（+－）>0<0  －2<k<0.