高考第一轮复习第55讲恒成立问题

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                 第五十五讲   恒成立问题                                 A组题
一 选择题1.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（    ）A．0            B. –2            C.               D.-3【答案】C【解析】解：设，则对称轴为若，即时，则在上是减函数，应有若，即时，则在上是增函数，应有恒成立，故若，即，则应有恒成立，故综上，有故选C2.已知不等式对任意都成立，那么实数的取值范围为                                                         （    ）A.   B.  C.    D.【答案】A【解析】由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是3.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　　　　）(A)     (B)       (C)       （D） 【答案】B【解析】：对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。4.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(   )A.2              B.4                C.6                 D.8解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．二 填空题若函数的定义域为R，则实数 的取值范围________________.【答案】分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，恒成立，所以，①当此时②当有综上所述，的定义域为时，不论为何实数，直线与曲线恒有交点，则的范围_______________【答案】【解析】：，，当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点必在圆上或圆内，即点到圆心距离不大于半径，则有，得三 解答题7.已知，（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）；（2）或或，解得或或，∴的取值范围为．8.设，若不等式恒成立，求的取值范围。 解：若设，则为上半圆。设为过原点，为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。（1）已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围（2）已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴（1）【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．令；令,故(1)对称轴，即时，，由 解得,（注意到的范围）从而得的范围：(2)对称轴时，，由 解得,（注意到的范围）从而得无解：;(3)对称轴时，，由 解得或，（注意到的范围）从而得的范围：;;综合（1）（2）（3）知实数的取值范围是： 10.（1）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.   （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.   （3）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：令（1）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.故实数的取值范围是（2）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.故实数的取值范围是（3）的最小值为3，，故实数的取值范围是                                  B组题一 选择题已知，若，使得，则实数的取值范围是（　　）   B.  C.    D.【答案】A【解析】因为时，时，故只需已知，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是                              （   ）　　        B.       C.       D.【答案】A【解析】根据对于意的，总存在，使得，得到函数在的值域是在上值域的子集求导函数可得：，∴函数在上单调减，在上单调增∴在上值域是；时，函数在上单调增，∴在的值域是∴且∴时，，满足题意时，函数在上单调减，∴在的值域是∴且综上知的取值范围是故选C已知集合，集合，则（　　） B.  C.   D.【答案】C【解析】集合由集合，可知的定义域为不等式有解，即不等式在上有解令，可得，令，可得，再由当时，，当时，，可得当时取得最大值为1要使等式在上有解，只要小于或等于的最大值即可即成立，所以集合所以故选C 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为                          （    ）A.   B.    C,      D.【答案】D【解析】求导函数，可得∴，令，∵当时，在上单调增，∴当时，在上单调减，在上单调增，∴恒成立当时，在上单调减∴恒成立综上，二 填空题．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为　　．【答案】4【解析】由题意，，当时，，函数是减函数，，只需即可，解得，与已知矛盾。当时，令，解得①当时，为递增函数②当时，为递减函数③当时，为递增函数所以，且，且即可由即，解得由，解得由，解得综上，为所求6.若不等式对任意都成立，则实数取值范围是_________．【答案】 【解析】显然时，有或令①当时，对任意的，在上递减，，此时的最小值为0，不适合题意②当时，对任意的，函数在上单调递减，在上单调递增∴的最小值为，解得∴实数取值范围是三 解答题7.已知两函数，。（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围（2）存在，使成立，求实数的取值范围（3）对任意，都有，求实数的取值范围（4）存在，都有，求实数的取值范围解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，，∴，由，得。（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：∵∴ ，∵在区间上只有一个解。∴，即.（4）存在，都有，等价于，由(3)得，，点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。8.已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式　学科网恒成立，求实数的取值组成的集合．学科网解：（１）由已知得．因为，学科网所以当．学科网故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间．（２）①当时，．学科网令，则．学科网由（１）知当时，有，所以，学科网即得在上为增函数，所以，所以．②当时，．学科网由①可知，当时，为增函数，所以，学科网所以．学科网 综合以上得．故实数的取值组成的集合为9.已知函数和   （I）若函数与函数的图像在处的切线平行，求的值；   （II）设，当时，恒成立，求实数的取值范围解：（I）∵ ∵若函数与函数的图像在处的切线平行    （II）   在是单调减函数，在是单调增函数.∴当时，有 当时，有∵当时，恒成立∴满足条件的的值满足下列不等式组   ①或② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得  综上所述，满足条件的的取值范围是10..已知函数（1）求函数的最大值；（2）设，求在上的最大值；(3)　试证明：对，不等式恒成立．解：（１）∵，   令得   显然是上方程的解令，则∴函数在上单调增    ∴是方程的唯一解 ∵当时，当时∴函数在上单调递增，在上单调递减　∴当时函数有最大值（２）由（１）知函数在上单调递增，在上单调递减故①当即时在上单调递增 ∴②当时在上单调递减   ∴③当，即时   （３）由（１）知当时，  ∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立  ∴对任意的恒有  ∵　 　∴ 即对，不等式恒成立．                        C组题一 选择题三次函数在内恒为正值，则的取值范围是        （    ）．  B.  C. D.【答案】D【解析】解：方法1：可以看作，且的图象和类似，只是在一，三象限，由于，讨论第一象限即可 直线过点，斜率为．观察可知在范围内，直线与相切的斜率是的最大值． 对求导得相切的斜率，相切的话，的最大值为． 相切即是有交点，则的最大值为，那么．方法2：，时，在上单调增，只需，显然成立；时，令 ， 在上单调增，在上单调减；如果即，只需，显然成立；如果即，只需，即，矛盾舍去；如果即，必须，即，即：综上：已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值为                 (    ) ．            A.1  B.2   C.3    D.4.【答案】C  【解析】当时，作函数与的图象如下，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象如下，，对，存在实数满足，使得成立，正确当时，作函数与的图象如下， ，对，存在实数满足，使得成立，正确当时，作函数与的图象如下，，不正确故选已知函数，其中是的导函数.对满足的一切的值，都有，则实数的取值范围            （    ）       A.     B.     C.     D.    【答案】C解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即     令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需  即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,,于是,不等式的解为  .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.，其中为实数，为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，则的取值范围           （   ）。        A.    B.   C.  D.【答案】A【解析】本题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求的范围，可先将分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。 二 填空题存在使得不等式成立，则实数的取值范围是　　．【答案】解：不等式，即，令的图象是关于对称的一个字形图形，其象位于第一、二象限；，是一个开口向下，关于轴对称，最大值为的抛物线；要存在，使不等式成立，则的图象应该在第二象限和的图象有交点，两种临界情况，①当时，的右半部分和在第二象限相切：的右半部分即，联列方程，只有一个解；即，即，得：；此时恒大于等于，所以取不到；所以；②当时，要使和在第二象限有交点，即的左半部分和的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要与轴的交点小于2即可；与轴的交点为，所以，又因为，所以；综上，实数的取值范围是：故答案为：6.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是        。【解析】(分离变量法)依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或。另解（函数法）：依据题意得在上恒定成立，即0在上恒成立。令,则 ∴在上恒成立，令∴且  ∴得或三 解答题7.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．  (I)求的值；  (II) 若在上恒成立，求的取值范围．  (Ⅲ) 讨论关于的方程的根的个数。解：（I）是奇函数，则恒成立. （II）又在上单调递减，∴只需∴（其中）恒成立令则.   （III）由（I）知 令，， 当上为增函数； 上为减函数， 当时，而， 、在同一坐标系的大致图象如图所示， ∴①当时，方程无解. ②当时，方程有一个根.      ③当时，方程有两个根.8.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围解：（1）由题意：的定义域为，且．，故在上是单调递增函数． （2）由（1）可知：① 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数， ② 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，．    ③ 若，令得，    当时，∴在上为减函数，    当时，在上为增函数，          综上可知：．（3）．又     令，  在上是减函数，，即， 在上也是减函数，．令得，∴当在恒成立时，9.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。 （1）当时，求的不动点； （2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；  （3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围。解   （1）当时，       设为其不动点，即则    的不动点是－1，2.（2）由得：.  由已知，此方程有相异二实根，恒成立，即   即对任意恒成立.（3）设，直线是线段AB的垂直平分线，    记的中点由（2）知  化简得：时，等号成立）;又在上单调递减，且值域为，所以在值域为。从而在的值域为，即10.设函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式在上恒成立，求k的最大值．解　(1)函数的定义域为，，由，得；由，得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)法一　由已知在上恒成立，得，令，则，设，则，所以函数在上单调递增．而，由零点存在定理，知存在，使得，即，又函数在上单调递增，所以当时，；当时，从而当时，；当时，，所以在上的最小值为因此在上恒成立等价于由，知，所以的最大值为法二　由题意，在上恒成立．设，则，(ⅰ)当时，则，所以单调递增，，即恒成立．(ⅱ)当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，只需即可，即.设，，则单调递减，因为所以的最大值为