高考第一轮复习第48讲 不等式选讲

这是一份高考第一轮复习第48讲 不等式选讲，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四十八讲  不等式选讲A组一、选择题1、不等式||+||的解集为（     ）A．                                 B．   C．                        D．【答案】：D【解析】由绝对值的几何意义知， ||+||表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选D。2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．                      B． C．                              D．【答案】：A【解析】：因为对任意x恒成立，所以，解得或。二、填空题3、设，则的最小值为         。【答案】：9【解析】：由柯西不等式可知。4、若，则的最小值是_________。【答案】： 【解析】：。5、（2015重庆16）若函数的最小值为5，则实数a=_______。【答案】：或【解析】：由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或。6、若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是             。【答案】：【解析】：当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的取值范围是。7、（2017年全国1卷理）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.【解析】（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时， .所以的解集包含，等价于当时.又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.8.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围。【解析】：（1）当时，         或或         或 （2）原命题在上恒成立；         在上恒成立；在上恒成立 ；。9、已知函数=,=。（1）当=2时，求不等式＜的解集；（2）设＞-1，且当∈[，)时，≤,求的取值范围。解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0。设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0；所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}。(2)当x∈时，f(x)＝1＋a；不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立；故≥a－2，即；从而a的取值范围是。10.若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由。【解析】：（1）由，得，且当时等号成立，则，且当时等号成立，故的最小值为。（2）由(1)知：，由于＞6，从而不存在，使得。     11、设均为正数，且，证明：（1）；   （2）。解：(1)由得；由题设得，即；从而有，故。(2)因为，，，故，即所以≥1。B组一、选择题1、已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（　   ）A．    B． C．    D． 【答案】：D【解析】：方法一：由绝对值的几何意义知，表示数轴上的点与点1的距离和数轴上的点与点-的距离之差，要使不等式的解集不是空集，结合数轴可知。方法二：令，因为不等式的解集不是空集，则有，又从而，解得。2、若，且恒成立，则的最小值是（    ）A．               B．             C．                 D．【答案】：B 【解析】：，，而，即恒成立，得。二、填空题3、若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______。【答案】：【解析】：令，则①当时，；②当时，，则；③当时，；综合①②③可知；所以要使不等式恒成立，则需，解得。4、对于实数x，y，若，，则的最大值为       。【答案】：52【解析】：因为，，则。5、已知，若关于x的方程有实根，则的取值范围是        。【答案】：【解析】：由已知；又因为，从而有；解得。6、若实数满足，则的最小值为_______。【答案】： 【解析】：，即，。7、已知，的最小值为。（1）求的值；（2）解关于的不等式。【解析】：（1）因为，则有；当且仅当且即时等号成立；故m的值为6。（2）由（1）得，即；两边平方有；解得；故不等式的解集为。8..设函数=。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求的取值范围。【解析】：(1)证明：由，有（2）由已知当时，，由解得；当时，，由由解得；综上，的取值范围是。 9、设正数x，y，z满足。（1）求证：；（2）求的最小值。【解析】：（1）证明：由柯西不等式得：；（2）解：由已知
所以由柯西不等式得：         ；故的最小值为。10、已知函数。（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。【解析】：（1）当时，化为。当，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；所以解集为。（2）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，从而的面积为；则有，故，所以的取值范围为。C组一、选择题1、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（    ）A．           B．            C．            D．【答案】：B 【解析】：因为，则，而，所以，解得。2、已知，设，则下列判断中正确的是（     ）A．         B．         C．         D．【答案】：B 【解析】：，即，，，，，得，即，得，所以。二、填空题3、若是正数，且满足，则的最小值为______。  【答案】： 【解析】：因为，则有。4、设a，b，c均为正数且，则之最小值为__________。【答案】：9【解析】：设向量 = (，，)  ， =(，，) 因为，则有
 ()×9
 。5、已知实数满足，，则a的最小值与最大值之差为         。【答案】：-1【解析】：由柯西不等式，得，即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1。6.对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为          。【答案】：-2【解析】：设，则；则由得；因为关于a的二次方程，即；解得；当时，；，当t的值为时，同法可求得故的最小值为-2。三、解答题7、已知，函数的最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值。【解析】: （1）当且仅当时等号成立。又，所以，所以。（2）由柯西不等式得：即，当且仅当时等号成立所以当时．。8、已知实数满足，且有。求证：。【解析】：，是方程的两个不等实根，则，得，而即，得，所以，，即。9、已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。【解析】:（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得                     ①所以                   ②                    故.又       ③所以原不等式成立。                                           当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。             证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以               ①同理             ②                   故         ③所以原不等式成立.                                 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。              10、设正数满足。（1）求的最大值；（2）证明：。【解析】：（1）解：将平方可得：  即，由基本不等式可知：               所以，等号成立时，。（2）证明：由柯西不等式可得：    即所以，又由（1）可得：  ，所以。