高考第一轮复习第47讲 坐标系与参数方程

这是一份高考第一轮复习第47讲 坐标系与参数方程，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
                   第四十七讲 坐标系与参数方程                           A组一、选择题已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线的距离最大时，k的值为(　　)      B.     C．      D．[解析]　⊙O的直角坐标方程为，∴圆心，又直线过定点，故当CA与直线垂直时，圆心C到直线距离最大，2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)A．直线、直线　　　 　　B．直线、圆C．圆、圆              D．圆、直线[解析]　由得，此方程所表示的图形是圆．消去方程中的参数t可得，此方程所表示的图形是直线．3.下列参数方程(t为参数)中，与方程表示同一曲线的是(　　)A  B.C.  D.[解析]　将代入得，，故A错，将代入中得，，，故B正确，C、D容易判断都是错的．4.直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为(　　)A．  B. C．      D．2[解析]　将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得圆心O到直线的距离所以弦长二、填空题5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为．解析     同理： 6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是1 .解析： 圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离，最短距离为三、解答题7.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解： (I)，，由得．所以．即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为．8.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. 在极坐标系下，已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程；(2)当时，求直线于圆公共点的极坐标。解：（1）圆，即圆的直角坐标方程为：，即直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。（2）由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。10.在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）    求，的极坐标方程；（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即由于的半径为1，所以的面积为11.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.联立     解得     或所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为412．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.                           B组一、选择题1.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(　　)A．   B．    C．    D．[解析]　由得：，即，∴圆心直角坐标为，极坐标为，选B.2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)A．圆、直线   B．直线、圆    C． 圆、圆    D．直线、直线[解析]　将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线．3.极坐标方程为表示的图形是(　　)A．两个圆    B．两条直线   C．一个圆和一条射线  D．一条直线和一条射线[解析]　由得或者，又，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．4..曲线与曲线(关于直线l对称，则l的方程为(　　)A．  B．  C．  D．[解析]　圆的圆心圆，的圆心∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，∵kOC＝－1，∴kl＝1，∴l方程为：，即.二、填空题5.曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是解析：由参数方程得标准方程为6.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为       .三、解答题7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.[解析]（1）由曲线：  得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：      由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为: (2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为       所以当时，的最小值为，此时点的坐标为 8.、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．   （Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；   （Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.解：（1）曲线的极坐标方程可化为： 又    .所以，曲线的直角坐标方程为：.   （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：    令  得 即点的坐标为    又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则    ∴ 在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．解：设，．由题知    ∴四边形OAMB面积 所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为 10.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【解析】: （Ⅰ） ,曲线C:         （Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．   11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得故点的坐标为，其极坐标为.                （II）坐标变换式为故的方程为，即当直线的斜率存在时,设其方程为，即，由圆心到直线距离得，，∴直线为，当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.故直线的极坐标方程为或.                          C组一、选择题 1.方程表示的曲线是（   ）A. 双曲线     B.双曲线的上支      C.双曲线的下支    D.圆解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到    ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 2.下列在曲线上的点是（    ）A．   B．   C．   D．解析：  转化为普通方程：，当时，3.极坐标方程表示的曲线是（   ）     A. 圆  B. 椭圆  C. 双曲线的一支  D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D. 4.直线被圆截得的弦长为（    ）A．         B．   C．       D． 解析：  ，把直线代入得，弦长为二、填空题5.若直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．[解析]　直线化为；圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r＝3，∴弦长为6.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．[答案]　[解析]　解法一：圆的圆心极坐标(3,0)，∴直线l方程为解法二：由得，圆心C(3,0)，∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为，其极坐标方程为三、解答题7.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析] （Ⅰ）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, .  已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是. 9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.    已知曲线 (t为参数) ， (为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析] 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以.          11.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．    （ I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为由得，圆C的直角坐标方程为（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，得 ，则 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则，， 因为，所以所以，所以的取值范围为