高考第一轮复习第29 数列的通项公式与前n项和

这是一份高考第一轮复习第29 数列的通项公式与前n项和，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 第二十九讲 数列的通项公式与前n项和 A组一、选择题1．已知是等差数列，公差不为零，前项和是.若，，成等比数列，则A.，   B.，C.，   D.，解：由于是等差数列，故，由于，，成等比数列，则.故，化简可得:.因此有:,. 2．设，则(    )A．4        B． 5         C． 6             D． 10解：若则，∴ .故选A 3．设等差数列的前项和为，且满足，则（   ）A．      B．       C．        D．解：设公差为，则                        所以，所以所以选C4．已知数列满足，且，则数列的前6项和（   ）A.6 B.7 C.8 D.9解：因为，所以，两边同时除以得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，从而，，故选B 二、填空题5．（2017年全国2卷理）等差数列的前项和为，，，则          ．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 . 6．数列满足，则________.解：由已知得，，从而，，，，，从而，所以7．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______.解：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=. 三、解答题8．在数列中，，（）. （Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．解：（Ⅰ），         所以数列是首项为，公比为的等比数列，         所以，    所以.（Ⅱ）因为，所以   9．设是数列的前项和.已知，.(I)求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和.解：(I)由，可知.可得  即由于，可得.又，解得（舍去）.所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.(II)由可知：设数列的前项和为，则         .10．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，， ， ．(I)求数列，的通项公式；(II)当时，记，求数列的前项和．解：(I)由题意有，即解得 或 故或其中.(II)由，知，，故，于是，  ①.  ②①-②可得，故. 11．已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.解：（I）由得。      又，所以是首项为，公比为3的等比数列。      ，因此的通项公式为.  （Ⅱ）由（I）知      因为当时，，所以。于是.所以  B组一、选择题1．等差数列的前项和为，已知，,则（    ）（A）38       （B）20      （C）10       （D）9解：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。  2．已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（   ）A．              B．               C．              D．解：由，，且, 得, 即,又,所以,从而, ,则,当且仅当,即时,上式等号成立, 所以的最小值为,故选A.3．已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 (    )A.         B.          C.            D. 解：，由已知可得；；；……，可归纳出.故选D.4．已知数列的通项公式为，其前项和为，则（  ）A． B． C． D．解：由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，∴，       ∴.     故选D. 二、填空题5．设是数列的前项和，且，，则______.解：由已知得，等式两端同时除以得，，即是以为首项，为公差的等差数列，则，.6．（2016年浙江理）设数列的前项和为.若， ，，则     ，    .解：由，得；由，故解得.再由，得，从而，即，又，所以，从而所以填： ，三、解答题7．（16年全国II理）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和．【解析】⑴设　的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵　记的前项和为，则．当时，；当时，；     当时，；当时，．∴． 8．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．(1)求的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列的通项公式．解析：（1）当时，，所以，即.（2）当时，因为，所以，所以所以，即，所以当时，，所以，满足式所以所以，所以是以，公比为的等比数列.（3）由（2）得，两边同乘以，可得，所以是以，公差为4的等差数列.所以，所以. 9．设数列的前项和为．已知．(I)求的通项公式；(II)若数列满足，求的前项和．解：(I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．(II)由知，当，；当，，由得           ①             ②       ①－②得：，所以有，经检验时也符合，故对，均有． 10． 已知是数列的前项和，且（1）求证：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和解：（1）   ①   ②①②可得： 即为的等比数列（2）由（1）可得：令代入     方法一：直接求和 设方法二：分组求和当为偶数时当为奇数时  方法三：分奇数项偶数项分别求和当为偶数时：                                同理：当为奇数时   C组一、选择题1.在数列中，，，若，则等于（  ）A．   B．   C．    D．解：根据题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，故，由累加法得：当时，        ，当时符合，故选A.另法：用排除法，通过求得，，代入选项排除，得到A选项.2.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（     ）   5             4           3          2解：由题设得，∴可化为，令，则，∴，∴当时，取得最大值，由解得，∴正整数的最小值为5。 3. 数列{}满足，则{}的前60项和为（     ）（A）3690         （B）3660         （C）1845            （D）1830解法1：由题设知=1，①    =3  ②      =5  ③     =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前60项和为=1830.解法2：可证明：4．数列满足, 则的整数部分是(    )A.         B.         C.          D.解: ,所以由,得,所以,  所以,所以,  所以的整数部分为. 二、填空题5．（16年上海理）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，，则的最大值为________.【答案】4解：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成. 6．数列满足，且(N*)，则数列的前10项和为      .解析：由题，，，，…，(N*)，由累加法，求得(N*)，经检验时也满足该通项，即(N*)；因此，，.三、解答题7．（16年四川理）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前项和， ，其中， .（1）若 成等差数列，求的通项公式；(2) 设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.解析：（1）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率   .由解得.因为，所以.于是，故.8．(16年江苏理)记.对数列和的子集，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.(1)    求数列的通项公式；(2)    对任意正整数，若，求证：；(3)    设,求证：.解：（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.①若是的子集，则.②若是的子集，则.③若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合①②③得，. 9数列满足 .(1)求的值；(2)求数列前项和；](3)令，，证明：数列的前项和，满足.解：(1)依题意，，.(2)依题意，当时，    (3)依题意有知，， 记，则在上是增函数，又，即.又且时，所以即 即有所以即  10．已知数列满足且N*)．(I)证明：；(II)设数列的前项和为，证明：.解析：(I)由题意知,即, 故．由得,从而可得：.因此，即结论成立.(II)由题意得，所以.因为，所以.，从而有化简可得：，因此，.