2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1.    随着年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    将二次函数图象向下平移个单位长度，所得二次函数的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在平面直角坐标系中，下列函数的图象上存在点的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    南宋著名数学家杨辉所著的杨辉算法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是平方步，只知道它的长与宽的和是步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    已知二次函数的与的部分对应值如表：

根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数可改写为的形式
二次函数的图象开口向下
关于的一元二次方程的两个根为或
若，则
其中所有正确的结论为(    )

A.  B.  C.  D.

8.   老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有张，能得到三块塘的纸条有张，能得到五块糖的纸条有张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9.   已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
10. 对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ．
11. 如图，，两点的坐标分别为，，将线段绕点顺时针旋转得到线段若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为______

12. 如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到点与点是对应点，点与点是对应点，连接，则的度数是______．

13. 已知电路由如图所示的开关控制，闭合，，，，五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是______．

14. 一个函数满足过点，且当时，随的增大而减小，该函数可以为           ．
15. 已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于且小于，则的取值范围是          ．
16. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为若球能越过球网，又不出边界，则的取值范围为______．
     

三、解答题（本题共10小题，共102分）

17. 用适当的方法解下列方程：
    ．
    ．
18. 已知关于的一元二次方程．
    不解方程，判断此方程根的情况；
    若是该方程的一个根，求代数式的值．
19. 如图，在中，，，是边上一点点与，不重合，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结交于点，连接．
    求证：≌；
    当时，求的度数．

20. 已知二次函数．
    用配方法将化成的形式；
    在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
    当时，的取值范围是______．

21. 月日是全国法制宜传日下面是某校九年级四个班的学生各班人数相同在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：

频数分布表中， ______ ；
从中，随机抽取名学生，那么所抽取的学生中，至少有人是一班学生的概率是多少？

22. 某工厂设计了一款成本为元件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

研究发现，每天销售量与单价满足一次函数关系，求出与的关系式；
当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过元件，那么销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润为元？

23. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：

根据上述信息，解决以下问题：
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．
 

24. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．
    求抛物线的对称轴用含的式子表示；
    当时，求的值；
    若，求的值用含的式子表示．
    若对于，都有，求的取值范围．
25. 已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点不与点，重合，点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，．
    如图，若点为线段的中点；
    直接写出的度数；
    依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系；
    如图，若线段与交于点．
    设，求的大小用含的式子表示；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
     
26. 对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”．
    
    已知点，在点，，中，______ 是点的“直角点”；
    已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围；
    在的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．

根据判别式的意义得到，即可求得．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，向下平移个单位长度的顶点坐标为，
所得二次函数的解析式是．
故选：．
原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，据此写出平移后抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，图象经过第一象限的函数是满足条件的，
A、函数的图象在一、三象限，满足条件；
B、函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
C、函数的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
D、函数的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
故选：．
由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
本题考查了反比函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象．熟练掌握函数的性质与图象是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则：．
故选：．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出的值．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形田地的长为步，矩形田地的长与宽的和是步，
矩形田地的宽为步．
依题意得：，
整理得：．
故选：．
由矩形田地的长与宽的和是步，可得出矩形田地的宽为步，根据矩形田地的面积是平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：和时的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴为直线，
当时，
抛物线的顶点为，
二次函数可改写为的形式，
所以正确；
由表格可知时函数的值最小，
抛物线的开口向上，
故错误；
与关于对称轴对称，
时，，时，，
关于的一元二次方程的两个根为或，
故正确；
抛物线的开口向上，和时，，
若，则或，
故错误；
综上所述：其中正确的结论有．
故选：．
根据表格数据求出顶点坐标，即可判断；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断；根据函数的图象和性质可以判断．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：共有张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有张，
从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是；
故选B．
根据概率的求法，找准两点：
全部情况的总数；
符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

10.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．  

11.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
由旋转可知，，
，
．
故答案为   
由，，得出，，利用求出，得出，最后利用三角形内角和求出答案．
本题考查了特殊直角三角形的性质，熟练运用特殊三角函数值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
由绕点顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
先根据三角形内角和计算出，由于由绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，，则为等腰直角三角形，得到，然后利用计算即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：列表得：

一共有种等可能的结果，使电路形成通路的有种情况，
使电路形成通路的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与使电路形成通路的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】，不唯一 

【解析】解：当时，随的增大而减小，
，
可设，
过点，
设函数解析式为，
将，代入得，
，
故答案为答案不唯一，需满足即可．
若函数为一次函数时，当，随增大而减小，说明，只要满足的值即可，把代入解析式可得函数解析式．
本题考查函数解析式，解本题的关键是掌握一次函数的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，
解得：，，
抛物线与轴的两个交点为和，
其中一个交点的横坐标大于且小于，
，
即，
故答案为：．
根据函数解析式求出二次函数与轴两个交点的坐标，根据坐标大于且小于确定的取值范围即可．
本题主要考查二次函数与轴的坐标问题，熟练掌握抛物线与轴的交点知识是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
抛物线的表达式为，
由题意得：当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
故的取值范围是．
故答案为：．
把点坐标代入得，由题意得：当时，，当时，，即可求解．
此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出两个不等式是解题关键．
 

17.【答案】解：移项，得，
所以，
所以．
所以，．
，
．
．
或．
，． 

【解析】利用直接开平方法求解比较简便；
利用因式分解法求解比较简便．
本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、因式分解法是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
此一元二次方程有两个不相等的实数根．
将代入一元二次方程，
得，
整理得，

． 

【解析】利用根的判别式判断即可．
将代入一元二次方程，整理得，再将变形为，代入求值即可．
本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．
 

19.【答案】证明：将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
解：≌，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，，可得结论；
由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】；
这个二次函数的图象如图：

 

【解析】

解：
见答案；
见答案；
当时，．
故答案为．
【分析】
运用配方法把一般式化为顶点式；
根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；
运用数形结合思想解答即可．
本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．  

21.【答案】；
一班有人，分别记为、；四班有人，分别记为、、；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，所抽取的学生中，至少有人是一班学生的结果有种，
所抽取的学生中，至少有人是一班学生的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表；正确画出树状图是解题的关键．
先求出九年级一班或二班或三班的学生为人，各班人数相同，即可得出答案；
画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：九年级一班的学生为：人，各班人数相同，
，
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】解：设，
根据题意可得，
解得：，
则；
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
销售单价最高不能超过元件，
，
答：销售单价定为元件时，工厂试销该工艺品每天获得的利润为元． 

【解析】本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目中的等量关系．
利用待定系数法求解可得；
根据“总利润单件利润销售量”可得关于的一元二次方程，解之即可得．
 

23.【答案】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：．
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求． 

【解析】建立坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；
观察图象即可得出结论；
根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线；
当时，

；
当时，，
，
，
，
；
当时，
，，
，只需讨论的情况．
若，
时，随着的增大而增大，
，符合题意；
若，
，
，
，
．
．
时，，时，随着的增大而增大，
，符合题意．
当时，令，，此时，但，不符合题意；
综上所述，的取值范围是． 

【解析】抛物线的对称轴，计算即可；
将代入，计算即可；若，则，解方程并根据，即可得出的值．
由题意得出，则只需讨论的情况，分两种情况：当时，又有两种情况：，，分别结合二次函数的性质及计算即可；当时，令，，此时，但，不符合题意．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，关于对称，
，，
是等边三角形，
，
点为线段的中点，
，
，
．

图形如图所示：结论：．

理由：，，关于对称，
，
，
，
，
．

如图中，连接，．

，关于对称，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
．

如图中，结论：．
理由：连接，在上取一点，使得．

，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
≌，
，
，
，关于对称，
，
． 

【解析】证明，可得结论．
图形如图所示：结论：证明，可得结论．
如图中，连接，证明，，，四点共圆，推出，由，推出，推出，推出，可得结论．
如图中，结论：连接，在上取一点，使得利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：和
如图所示，连接，，取的中点，的中点，
分别以，为圆心，，为直径作圆，













由图可知，，为两个临界点，
则，
同理，，
；
或 

【解析】解：点，，，点，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
和是点的直角点；
故答案为：和；
见答案；
如图，分别以，为直径作圆，
当，即时，
正方形位于正方形位置时，可得，
正方形位于正方形位置时，
，，
，
解得：或舍去，
．
当时，
正方形位于正方形位置时，
，，
，
解得：或舍去，
正方形位于正方形位置时，
，
，
解得：，
，
综上所述， 或．



根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明，，可得，，再根据“直角点”的定义可得结论；
连接，，取的中点，的中点，分别以，为圆心，，为直径作圆，由图可知，，为两个临界点，即可求得答案；
如图，分情况讨论分析。
本题考查了勾股定理及逆定理，圆的性质，不等式组的应用等，解题关键是理解并应用新定义“直角点”．