2022-2023学年江苏省连云港市灌南县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市灌南县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省连云港市灌南县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共8小题，共24分）   在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    等腰三角形周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(    )A.   B.   C.  或  D.     请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是(    )
A.  B.  C.  D.    如图，直线、、表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(    )A. 处
B. 处
C. 处
D. 处   如图，在中，运用尺规作图的方法在边上取一点，使，下列作法正确的是(    )A.  B.  C.  D.    如图，中，，，，是上的两点，且，则图中等腰三角形的个数是(    )A.  B.  C.  D.    如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为(    )A.
B.
C.
D.    如图，在中，，点是边上的动点点与点、不重合，设点为线段的中点，过点作，垂足为点，连接、若，则在点运动过程中的大小为(    )
A.  B.
C.  D. 发生变化，无法确定二、填空题（本题共8小题，共24分）   若≌，则的对应边是______．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明≌，需再添加一个条件是______．
 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是______．
 等腰三角形的一个内角是，则它的底角是______．若直角三角形斜边上的高和中线分别为、，则它的面积为______ ．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋圈升高时，这段葛藤的长是______．
如图，，点为内一点，点、分别在、上，则周长的最小值为______．
 如图，是边长为的等边三角形，直线经过顶点，且与边平行，在直线上有一点，当的值为______时，使得．
三、解答题（本题共10小题，共102分）已知：如图，，求证：．
 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是．
画出四边形关于直线对称的四边形；
在直线上找一点，连接、，使得的值最小；要求在直线上标出点的位置
的最小值为______．
如图，在中，，为边上一点，，．
求的度数；
求证：．
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
试说明；
如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
小明同学用圆规和直尺按下面方法作的平分线：
作法：如图，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，；
再以任意长为半径画弧与，交于点，；
连接，交于点，连接，则平分．
老帅说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出≌，从而得到了，下面请你帮助小明同学完成后面平分的证明．
如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米．
如图，在中，，翻折、使点、落在斜边点处，折痕分别为，，连接，．
求证：．
若，，，求线段的长．
【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”据周髀算经记载，公元前多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像、、这样为三边长能构成直角三角形的个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：；；分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过．
当勾为时，股，弦；
当勾为时，股，弦；
当勾为时，股，弦．
如果勾用，且为奇数表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股______，弦______，则据此规律第四组勾股数是______．
若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形．如图，在中，，，，点在线段上，且，动点从距点的点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了秒．
的长为______；
求为何值时，线段等于线段？
如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
求线段的长度；
连接，求证：；
如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变，若改变，请求出的变化范围；若不改变，请求出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：．
故选B．
   3.【答案】 【解析】解：根据作图过程可知，，，
≌．
故选D．

根据作图过程，，，，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
 4.【答案】 【解析】解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作于，于，于，

，，
，
点到的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个；
综上，到三条公路的距离相等的点有个，
可供选择的地址有个．
故选：．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个．
此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
 5.【答案】 【解析】解：，
而，
，
点为的垂直平分线与的交点．
故选：．
利用，则可判断，根据线段垂直平分线的性质得到点为的垂直平分线与的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的定义及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中．
由已知条件，根据三角形内角和等于、角的平分线的定义求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
【解答】
解：，，
，
，
等腰三角形，，，，，，共有个，
故选C．  7.【答案】 【解析】解：，，，
，
为的平分线，将沿直线翻折得，
、、共线，，，
，
在中，设，则，
，
，
解得，
，
故选：．
由勾股定理求出，求出，设，则，得出，解方程求出即可得解．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，点为线段的中点，
，即，
，点为线段的中点，
，即，
，
点、、、在以点为圆心的同一个圆上；
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，得到，证明结论，于是得到结论．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：因为≌，所以的对应边是．
故答案是：．
根据全等三角形对应边相等，对应边相等可得答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是正确找出对应顶点．
 10.【答案】 【解析】解：，，
当添加时，≌．
故答案为：．
由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断≌，
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 11.【答案】 【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 12.【答案】或 【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】
解：当的角是底角时，三角形的底角就是；
当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是．
故答案是：或．  13.【答案】 【解析】解：直角三角形斜边上的中线，
斜边长为，
斜边上的高线为，
面积为．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出斜边的长度是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由题意可得，展开图中，，
则在中，．
这段葛藤的长是．
故答案为．
根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
 15.【答案】 【解析】解：分别作点关于、的对称点、，连、，交于，交于，连接，
则，，，
，，则的周长的最小值
，
是等边三角形．
的周长，
．
故答案为：．
分别作点关于、的对称点、，连、，交于，交于，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．
 16.【答案】或 【解析】解：或时，使得，理由如下：

是边长为的等边三角形，
，，
在直线上分别截取，，
，
直线经过顶点，且与边平行，
，
，
，
；
，
如图，连接，

，
是等边三角形，
，
，
．
当的值为或时，使得．
故答案为：或．
在直线上分别截取，，连接，，根据等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查作图尺规作图，平行线的性质，等边三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 17.【答案】证明：连接，在和中，
，
≌，
． 【解析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
连接，在和中，，，，通过可证全等，所以．
 18.【答案】 【解析】解：如图所示，四边形即为所求．

如图所示，点即为所求；
的最小值，即线段的长，其最小值为．
故答案为：．
分别作出四个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
连接，与直线的交点即为所求；
利用勾股定理求解即可．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
 19.【答案】解：，
，
，
，
，
；

证明：，
，
，
，
． 【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质．
由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则；
根据三角形外角性质得到，而由得到，再根据等腰三角形的判定可得，这样即可得到结论．
 20.【答案】解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
即；
由图可知，，，
，
． 【解析】根据大正方形的面积直角三角形的面积小正方形的面积可得结论；
利用完全平方公式结合正方形及直角三角形的面积计算可求解．
本题主要考查勾股定理的证明，利用面积法证明勾股定理是解题的关键．
 21.【答案】证明：小明同学这种作角平分线的方法是正确的．
理由如下：由作法得，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
≌，
，
≌
，
平分． 【解析】由作法得，，则可判断≌，根据全等三角形的性质得到点到、的距离相等，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断点在的平分线上，从而得到小明同学这种作角平分线的方法正确．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：在中：
，米，米，
米，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米， 【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 23.【答案】解：由折叠的性质得，，
，
，
，
；
由折叠的性质得，，，，
，
，
．
连接，在和中，设，则，
，则，
根据勾股定理，得，．
即，解得．
答：线段的长为． 【解析】由折叠的性质可得，，由余角的性质可得结论；
构造直角三角形根据勾股定理即可求解．
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理解决．
 24.【答案】    【解析】解：如果勾用，且为奇数表示时，则股，弦；
当时，，；
第四组勾股数是；
故答案为：，，；
证明：，，，其中且是整数，
，
，
以，，为边的是直角三角形．
如果勾用，且为奇数表示时，则股，弦；当时，即可求出第四组勾股数；
根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可．
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 25.【答案】 【解析】解：，，，
，
，
，
故答案为：；

当时，
即，
．
解得：，
经检验，是原方程的根，
为时，线段等于线段．
根据勾股定理得到结论；
分别用含有的代数式表示出和，列出方程求解即可求得结果．
本题主要考查了勾股定理，自变量的取值范围，等腰三角形的判定及分类思想的应用，熟练掌握分类思想的应用是解决问题的关键．
 26.【答案】解：，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：过分别作于点，作于点，如图所示：

在四边形中，，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
平分，
；
解：的值不发生改变，等于，理由如下：
连接，如图所示：

，，为的中点，
，，，
，，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
． 【解析】证≌，根据全等三角形的性质即可得出；
过分别作于点，作于点，证≌，得出得出平分，即可得出结论；
连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出，证≌，得，进而得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．