高考第一轮复习第40讲圆锥曲线中的定值与定点问题试题

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第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题一、解答题1．（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）2．已知椭圆过点，且离心率．（12分）（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。【解析】椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设的方程为，点，则得，即， ，， ，由题可得直线方程为，又∵， ，∴直线方程为，令，整理得 ，即直线过点，3．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．（I）求椭圆的方程；（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．【解析】（I）由题意得： ，解得： ，椭圆的方程为．（II）依题意，设直线方程为： ，则，且．联立，得，，又直线的方程为，即而，直线的方程为，故直线地定点．4．在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于两点 ， 为 的中点，且 的斜率为 . （1）求椭圆的标准方程；（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1) 设 ,则 ，两式相减得， ，又 ， 为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .(2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 . ，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有 ，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时， 为定值.5．已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求．记交点坐标为，则为方程①的两根，故由韦达定理可知， ．将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，整理得，同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，联立两条切线的方程，解得点坐标为，故点P的轨迹方程为， （Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，为定值．6．已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点， （）为椭圆上两点，且满足，求证： 的面积为定值，并求出该定值.【解析】（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点，点到直线的距离 ，整理，得.①又点在椭圆上， .②联立①②解得， ，椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 . ， ，， ， .又，则由题意，得 .整理，得，则 ，整理，得（满足）. .又点到直线的距离. ，为定值.7．已知椭圆： 的离心率为，且过点，动直线： 交椭圆于不同的两点， ，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【解析】（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得， ，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以， ，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.8．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.【解析】（I）椭圆；（II）由直线平分和，而由直线与，设，则，由恒成立直线的斜率为定值．9．已知椭圆右顶点，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．【解析】：⑴依题意得解得    ，则椭圆的方程为.⑵设，则，，令得，则,，令得，则,∴10．平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；②当直线的斜率存在时，设，直线为，由，所以， ，所以 ， 联立解得，代入上式可得，综上，直线与过定点.11．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程：(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.【解析】(1)      ，即， 又 ，既            故椭圆的方程为.(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为   由可得，    设点，则， ①，②由于直线的方程为所以令，可得①②带入到上式既可解得，   所以直线与轴相交于定点.12．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点， ，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.【解析】（1）由已知，得   解得              所以椭圆的标准方程为．        （2）设点 ，则中点为． 由已知，求得直线的方程为，从而．① 又∵点在椭圆上，∴．② 由①②，解得（舍），，从而． 所以点的坐标为． （3）设， ， ．∵三点共线，∴，整理，得． ∵三点共线，∴，整理，得． ∵点在椭圆上，∴， ． 从而．      所以．∴为定值，定值为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点．设到准线的距离（）．（1）若，求抛物线的标准方程；（2）若，求证：直线的斜率为定值．【解析】（1）由条件知， ，代入抛物线方程得．  所以抛物线的方程为． （2）设，直线的方程为．将直线的方程代入，消得，所以， ． 因为，所以，又，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为定值．14．在直角坐标系中， 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若(1)求的值；(2)过点作直线交椭圆于两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点,连接，求证：直线经过一个定点。【解析】（1）由题意得： 解得： （2）设，直线的方程为则将代入椭圆方程得 直线的方程令得 所以直线经过定点 （注：由对称性可知，若过定点，则必在轴上）15．已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.【解析】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，由题意得：动圆半径圆心到轴的距离为，依题意有，化简得，即动圆圆心的轨迹方程为： （Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为： 得所以，故为定值.②当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，得，所以，即，又点在抛物线上，所以，于是综合①②，为定值，且定值为16．已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知两点的坐标分别为， ，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.【解析】（Ⅰ）依题意有， ，且，所以点的轨迹方程为： ．（Ⅱ）依题意设直线的方程为： ，代入椭圆方程得： 且： ①，②    ∵直线： ，直线： 由题知， 的交点的横坐标为4，得：，即即： ，整理得：③       将①②代入③得： 化简可得： 当变化时，上式恒成立，故可得： 所以直线恒过一定点.17．已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.（1）求过点，且与相切的圆的方程；（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【解析】：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，圆与直线相切， .由，得.过，且与直线相切的圆的方程为.（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，， ， ， ，联立，消去得.， .直线的方程为，令，得 .直线过定点 ,解法二：（1）同解法一.（2）直线过定点.证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，， ， ， ，联立，消去得，， . ，.，即， 三点共线， 直线过定点.解法三：（1）同解法一.（2）设直线的方程： ， ， ，则.由得， .， .， 直线的方程为. . 直线过定点.18．已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.【解析】（Ⅰ）设点，由已知得，化简得点的轨迹的方程: . （Ⅱ）设点的坐标分别为.由，所以，所以 因为点在曲线上，所以 ，化简得 ①，同理，由可得： ， 代入曲线的方程得 ②，由①②得是方程的两个实数根(△>0)， 所以.19．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题设知， ， ，又，解得.故所求椭圆的方程是.（2）①，则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故.考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.由，得，于是有.直线的斜率为，直线的方程为，令，得，故直线过定点.20．已知椭圆： 的焦点为，离心率为，点为其上动点，且三角形的面积最大值为， 为坐标原点.（1）求椭圆的的方程；（2）若点为上的两个动点，求常数，使时，点到直线的距离为定值，求这个定值.【解析】（1）依题意知： 解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则（*）当直线的斜率存在时设其方程为，则点到直线的距离，消，得， 得，则， ，代入（*）式：，整理得为常数，则，此时满足当轴时，由得， 消： ， 亦成立，综上： ， .21．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.【解析】（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为， ， ，动点的轨迹的方程为；（2）设，由得， ， . ， ， ， 或. ， 舍去， ，满足，直线的方程为，直线必经过定点.22．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.【解析】（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为直线与直线的交点为，∴，由得……..①由得…….②，由①②得 . （Ⅱ）设点，由得，∴，∴. 同理： ， ，∴即： ∴当变化时，直线过定点.