高中数学必修二 课时分层作业41古典概型

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课时分层作业(四十一)　古典概型(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为(　　)A. 　　　B.　　　C.　　　D.C　[试验的样本空间Ω＝ {(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝＝.]2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)A.  B.  C.  D.D　[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.]3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)A.  B.  C.  D.C　[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{ (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.]4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于(　　)A.  B.  C.  D.C　[试验的样本空间Ω＝ {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面，二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝.]5．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是(　　)A.  B.  C.  D.D　[设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，试验的样本空间Ω＝{(1,3,5), (1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7), (1,5,9), (1,7,9), (3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)三种情况，故所求概率为P(A)＝.]二、填空题6．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为        ．　[设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.]7．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为        ．　[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝＝.]8．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是        ．　[从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种样本点，所以取出的两数之和等于5的概率为＝.]三、解答题9．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．[解]　(1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝ {(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为<，所以此游戏不公平．10．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．[解]　(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝ {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝＝.[等级过关练]1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)A.  B.  C.  D.D　[设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)A.  B.  C.  D.B　[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.]3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为        ．　[如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，试验空间共有15个样本点，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6个样本点，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.]4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为        ．　[设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝ {(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，则样本空间的总数有15个．两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为＝.]5．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．[解]　(1)由题意可知：＝，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝ {(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝＝.