名校自主招生讲义（下）

自主招生讲义（下）
第九讲 圆锥曲线 93
一、知识方法拓展： 93
二、热身练习： 94
三、真题精讲： 96
四、重点总结： 104
五、强化训练： 105
第十讲 极坐标系/参数方程/线性规划 115
一、 知识方法拓展： 115
二、 热身练习： 119
三、 真题精讲： 119
四、 重点总结： 121
五、 强化训练： 121
第十一讲 平面几何 125
一、知识方法拓展 125
二、热身练习 126
三、真题精讲 127
四、重点总结 130
五、强化训练 130
第十三讲 三角 135
一、知识拓展 135
二、热身练习 136
三、例题精讲 138
四、重点总结 142
五、强化训练 142
第十四讲 复数 150
一、 知识要点 150
二、 典型例题 152
三、练习巩固 154
第十五讲 逻辑、计数原理与组合数 157
一、知识方法拓展 157
二、热身练习 158
三、真题精讲 159
四、重点总结 163
五、强化训练 163
第十六讲 概率与统计 169
一、知识方法拓展 169
三、真题精讲： 170
四、重点总结 175
五、强化训练 175
第十七讲 简单的初等数论 181
一、 知识总结 181
二、 例题讲解 183
三、 练习 185
第九讲 圆锥曲线
一、知识方法拓展：
1、直线系方程
若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。
特别地，当时，（*）式即；
当时，（*）式即。
对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.
又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。

2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）
圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点与到一条定直线(点不在直线上）的距离之比为常数的点的轨迹:
当时, 点的轨迹是椭圆，
当 时, 点的轨迹是双曲线，
当 时, 点的轨迹是抛物线，
其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线，焦点在X轴上的曲线的准线方程为。

3、圆锥曲线和直线的参数方程
圆的参数方程是，其中是参数。
椭圆的参数方程是，其中是参数，称为离心角。
双曲线的参数方程是，其中是参数。
抛物线的参数方程是，其中是参数。
过定点，倾斜角为的直线参数方程为，为参数。（关注几何意义）。

4、圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。

二、热身练习：
1、（07武大）如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】圆锥曲线的离心率，
椭圆中：∴，得
双曲线中：，得，故选择C。

2、（07武大）点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：设点
∴
所以答案选择D。


3、（11复旦）椭圆上的点到圆上的点距离的最大值是（ ）
（A）11 （B） （C） （D）9
【答案】
【解析】由平面解析几何的知识，椭圆上的点到圆
上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。
设椭圆上点的坐标，圆的圆心 ，则：

（当时取等号）
∴所求距离的最大值=10+1=11。



4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】设抛物线方程为，则，联立直线与抛物线方程消去得：
，，
从而根据点在抛物线上得：
解得：或（舍去），故选。

三、真题精讲：
精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。
例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为、，且椭圆与直线相切。
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值。
【解析】（1）由题知： 所以可设椭圆方程为
∵椭圆与直线相切
∴方程组只有一个解，
即方程有两个相等的实数根
所以
解得
所以椭圆方程为
（2）当斜率不存在（或为0）时，
当斜率存在（且不为0）时，设为，则的斜率为（）
所以的方程为
设与椭圆的交点坐标，联立方程
∴为方程的根
∴
同理
所以

因为，当且仅当时等号成立。
所以
综上所述，的面积的最小值为，最大值为。
例2、（11华约）双曲线，是左、右焦点，P是右支上任一点，且。
（1） 求离心率；
（2） 若A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，是否存在常数使恒成立？
【解析】（1）在中，有
∴
∴
∴
所以，
∴
（2）由（1）知双曲线的方程为：
不妨先设，此时点的坐标为
∴，为等腰直角三角形，
下面证明。 令
则

∴

所以，存在常数，使恒成立。
注：设是椭圆（或是双曲线）上一点，（分别是左右焦点），则。

例3、（08武大）已知A、B两点在椭圆上，直线AB上两个不同的点P、Q满足，且P点坐标为。
（1）若，求证：点Q在椭圆准线上；
（2）若为大于1的常数，求点Q的轨迹方程。
【解析】（1）证明：设
若轴，则，即两点重合，与已知矛盾；
设，则
当时，则为椭圆的右焦点；
则；


其中由图形可知：，化简可以得到，即点在准线上；
（2）解：设，则
，同理；
，；


即 由图像
于是：
整理得到：；
联立，消去得：


从求解过程中发现，不论点的纵坐标为何值，点的横坐标均为；
故：点的轨迹方程为；

例4、、（10武大）对于抛物线上的两相异点A、B，如果弦AB不平行于轴且其垂直平分线交轴于点P，那么称弦AB是点P的一条相关弦。已知点存在无穷多条相关弦，其中。
（1）证明：点的所有相关弦的中点的横坐标均相同；
（2）试问：点的所有相关弦中是否存在长度最大的弦？若存在，则求此最大弦长（用表示）；若不存在，则阐述理由。
【解析】（1）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
、,则,,
两式相减得。因为,所以。
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是,则
。
从而AB的垂直平分线l的方程为,
又点在直线l上，所以,
而，于是。
故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是。
(2)由(1)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得（*）
则是方程（*）的两个实根，且，
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则





因为,于是设,则。
记
若,则,所以当,即时,
l有最大值。
若,则,在区间上是减函数，所以
,l不存在最大值。
综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当2