2022年上海市春季高考数学试卷含答案
展开2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知（其中为虚数单位），则 ．
2．已知集合，集合，则 ．
3．不等式的解集为 ．
4．若，则 ．
5．设函数的反函数为，则 ．
6．在的展开式中，则含项的系数为 ．
7．若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 ．
8．已知在中，，，，则的外接圆半径为 ．
9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 （用数字作答）
10．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
11．已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．下列函数定义域为的是
A． B． C． D．
14．若，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
16．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
18．（14分）已知在数列中，，其前项和为．
（1）若是等比数列，，求；
（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．
19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到
（1）若，求的长；
（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
20．（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．
（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；
（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．
21．（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．
（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；
（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；
（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．
2022年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知（其中为虚数单位），则 ．
【思路分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解析】，．故答案为：．
【试题评价】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
2．已知集合，集合，则 ．
【思路分析】利用交集定义直接求解．
【解析】集合，集合，．故答案为：．
【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．不等式的解集为 ．
【思路分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．
【解析】由题意得，解得，故不等式的解集．故答案为：．
【试题评价】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
4．若，则 ．
【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【解析】若，则．故答案为：．
【试题评价】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．设函数的反函数为，则 3 ．
【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
【解析】函数的反函数为，整理得；所以．
故答案为：3．
【试题评价】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．在的展开式中，则含项的系数为 66 ．
【思路分析】求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值即可．
【解析】展开式的通项公式为，由，得，
得，即，即含项的系数为66，故答案为：66．
【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．
7．若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 4 ．
【思路分析】根据题意，分析可得直线和平行，由此求出的值，即可得答案．
【解析】根据题意，若关于，的方程组有无穷多解，
则直线和重合，则有，即，解可得，
当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故．故答案为：4
【试题评价】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．
8．已知在中，，，，则的外接圆半径为 ．
【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．
【解析】在中，，，，
利用余弦定理，整理得，
所以，解得．故答案为：．
【试题评价】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17 （用数字作答）
【思路分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数，
故有个比2134大的四位数，故答案为：17．
【试题评价】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．
10．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
【思路分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可．
【解析】建立平面直角坐标系如下，则，，，
直线的方程为，即，
点在直线上，设，
，，
，
的最小值为．故答案为：．
【试题评价】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
11．已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ， ．
【思路分析】取的对称点，，结合，可得，然后可得渐近线夹角，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解析】设的对称点，仍在双曲线右支，由，
得，即恒成立，
恒为锐角，即，
其中一条渐近线的斜率，
，所以实数的取值范围为，．故答案为：，．
【试题评价】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 2 ．
【思路分析】是周期为4的周期函数，作出图象，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．
【解析】函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，
是周期为4的周期函数，图象如图：
将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，
则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
【试题评价】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．下列函数定义域为的是
A． B． C． D．
【思路分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解析】，定义域为，
，定义域为，
，定义域为，
，定义域为．
定义域为的是．故选：．
【试题评价】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14．若，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【思路分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解析】对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，令，，，，满足，但，故错误．
故选：．
【试题评价】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：．
【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．
16．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【思路分析】反例判断；反例判断；构造等比数列，结合等比数列的性质判断；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断．
【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；
数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；
故选：．
【试题评价】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
【思路分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．
【解析】（1）因为为圆柱的母线，所以垂直于上底面，
所以是直线与上底面所成角，，
所以．
（2）因为圆柱过的截面为正方形，所以，
所以圆柱的体积为，
圆柱的侧面积为．
【试题评价】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．
18．（14分）已知在数列中，，其前项和为．
（1）若是等比数列，，求；
（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．
【思路分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前项和，代入，对分类分析得答案．
【解析】（1）在等比数列中，，，则，
公比，则，
；
（2）若是等差数列，
则，
即，当时，；
当时，恒成立，，，．
综上所述，，．
【试题评价】本题考查等差数列与等比数列前项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．
19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到
（1）若，求的长；
（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【思路分析】（1）作，然后结合锐角三角函数定义表示出，
（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
【解析】（1）作，垂足为，
则；
（2）设，则，，
，
，
当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为．
【试题评价】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．
20．（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．
（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；
（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．
【思路分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设，，表示出直线、直线方程，解出、坐标，表示出，再利用基本不等式即可求出答案．
【解析】（1）由题可得，，
因为，所以，解得，
所以，故的标准方程为；
（2）直线与直线的交点在椭圆上，
由题可得此时，，，，
则直线，直线，交点为，，满足，
故直线与直线的交点在椭圆上；
（3），，则直线，所以，
，，则直线，所以，
所以，
设，则，
因为，所以，
则，即的最小值为6．
【试题评价】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．
21．（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．
（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；
（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；
（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．
【思路分析】（1）推导出，由此能求出．
（2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集．
（3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增．
【解析】（1），，为做变换后的结果，，
，
解得．
（2），为做变换后的结果，，
，
当时，恒成立；
当时，，
解得，或，
综上，不等式：的解集为，，．
（3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到，
，，
先做变换后得到，再做变换后得到，
，，
，在上单调递增，
，
，，
函数在上单调递增．
【试题评价】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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