圆锥曲线离心率高考习题

这是一份圆锥曲线离心率高考习题，共33页。
圆锥曲线离心率习题
一．选择题（共16小题）
1．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．





2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．





3．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1



4．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）
A． B．3 C．2 D．4





5．（2015•四川）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）





6．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1







7．（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2




8．（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．3




9．（2018•天津）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1




10．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1和C2：x2+＝1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且＝w}，则Ω中元素个数为（　　）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个




11．（2000•新课程）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（　　）
A．2a B． C．4a D．




12．（2011•山东）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．＝1
C．＝1 D．＝1






13．（2010•全国）设抛物线y2＝8x的焦点为F，倾斜角为锐角的直线l经过F，且与抛物线相交于A、B两点．若F是线段AB的一个3等分点，则l的斜率为（　　）
A． B． C．2 D．2




14．（2004•全国）设A、B是直线y＝2x﹣3与椭圆+y2＝1的两个交点，M是AB的中点．O为坐标原点，则直线OM的斜率为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．





15．（2005•全国）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线的交点分别为E，G，右焦点为F，且△EFG是正三角形，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．



16．（1996•全国）椭圆25x2﹣150x+9y2+18y+9＝0的两个焦点坐标是（　　）
A．（﹣3，5），（﹣3，﹣3） B．（3，3），（3，﹣5）
C．（1，1），（﹣7，1） D．（7，﹣1），（﹣1，﹣1）



二．填空题（共14小题）
17．（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　 　．





18． （2016•山东）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是　 　．




19． （2015•湖南）设F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为　 　．




20． （2014•浙江）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是　 　．



21． （2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　 　．




22． （2014•江西）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　 　．



23． （2009•重庆）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为　 　．



24． （2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝　 　．






25． （2013•江西）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　 　．




26． （2013•福建）椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　 　．



27． （2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　 　．





28． （2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为　 　．





29． （2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　 　．










30．（2009•北京）椭圆+＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝　 　，∠F1PF2的大小为　 　．


圆锥曲线离心率习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为＝，
化简可得＝，即为a＝3c，
可得e＝＝．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得＝，
由△BOH∽△BFM，
可得＝＝，
即有＝即a＝3c，
可得e＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：y＝（x+a），
由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，
∴题意的离心率e＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
3．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得e＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
4．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）
A． B．3 C．2 D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．
【解答】解：双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，
则：解得M（，），
解得：N（），
则|MN|＝＝3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（2015•四川）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【分析】先确定M的轨迹是直线x＝3，代入抛物线方程可得y＝±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12＝4x1，y22＝4x2，
则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0＝2，
因为直线与圆相切，所以＝﹣，所以x0＝3，
即M的轨迹是直线x＝3．
将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴﹣2，
∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02＝r2，∴r2＝y02+4＜12+4＝16，
∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）
A．+y2＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为：+＝1．
故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．
7．（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2＝，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2，
即，②
在双曲线中，①化简为即4c2＝4a12+r1r2，
即，③
联立②③得，＝4，
由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，
即（）＝
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2＝，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos＝（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由，得，
∴＝，
令m＝＝＝，
当时，，
∴，
即的最大值为，
法3：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，
则a1+a2＝m，
则＝，
由正弦定理得＝，
即＝sin（120°﹣θ）≤＝
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
8．（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，结合条件可得a＝b，从而c＝＝b，即可求出双曲线的离心率．
解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，即可得出．
【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，
∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，
∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab
∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0
∴a＝b，
∴c＝＝b，
∴e＝＝．
解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝3b，
联立解得：|PF1|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，可得：×＝ab，
∴9b2﹣4a2﹣9ab＝0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0
∴a＝b，
∴c＝＝b，
∴e＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的第一第一与第二定义的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（2018•天津）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y＝，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF＝＝3，
EF＝＝b，
所以b＝3，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，
可得：，解得a＝．
则双曲线的方程为：﹣＝1．
故选：C．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
10．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1和C2：x2+＝1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且＝w}，则Ω中元素个数为（　　）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．
【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2+＝1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，
则＝6cosαcosβ+6sinαsinβ＝6cos（α﹣β），
当α＝β时，w取得最大值6，
则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且＝w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2＝36，9u2+v2＝9，
由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）＝324≥（3mu+3nv）2，
当且仅当mv＝9nu，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．
11．（2000•新课程）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（　　）
A．2a B． C．4a D．
【分析】设PQ直线方程是，则x1，x2是方程的两根，，同理q＝x2r．由此可知+的值．
【解答】解：如图：
设PQ直线方程是，
则x1，x2是方程的两根，
，
其中．同理q＝x2r．
从而＝＝＝4a．
故选：C．

【点评】本题考查抛物线的性质，解题时要认真审题，仔细解答．
12．（2011•山东）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．＝1
C．＝1 D．＝1
【分析】由题意因为圆C：x2+y2﹣6x+5＝0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，建立另一个a，b的方程．
【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5＝0⇔（x﹣3）2+y2＝4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线＝1（a＞0，b＞0），∴a2+b2＝9①又双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝⇔bx±ay＝0，∴ 连接①②得
所以双曲线的方程为：，
故选：A．
【点评】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．
13．（2010•全国）设抛物线y2＝8x的焦点为F，倾斜角为锐角的直线l经过F，且与抛物线相交于A、B两点．若F是线段AB的一个3等分点，则l的斜率为（　　）
A． B． C．2 D．2
【分析】求得抛物线的焦点，设直线l的斜率为k（k＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由AF＝2FB，可得x1＝6﹣2x2，联立y＝k（x﹣2）和y2＝8x，运用韦达定理，解方程即可得到所求斜率．
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l的斜率为k（k＞0），
由F是线段AB的一个3等分点，
可得AF＝2FB，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则2﹣x1＝2（x2﹣2），
即x1＝6﹣2x2，①
联立y＝k（x﹣2）和y2＝8x，可得
k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，
可得x1+x2＝4+，x1x2＝4，②
由①②解得x1＝4，x2＝1，k2＝8，
即有k＝2（负的舍去），
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（2004•全国）设A、B是直线y＝2x﹣3与椭圆+y2＝1的两个交点，M是AB的中点．O为坐标原点，则直线OM的斜率为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），由题意可得＝，＝2，将A，B的坐标代入椭圆方程得到两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，将值代入求出OM的斜率的值．
【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），
由题意可得＝，＝2 ①
因为A，B在椭圆上，
所以x12+4y12＝4，x22+4y22＝4，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
所以＝﹣•＝﹣•＝2，
即为kOM＝＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点及直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥曲线相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程得方法可以简化基本运算．
15．（2005•全国）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线的交点分别为E，G，右焦点为F，且△EFG是正三角形，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】分别求得双曲线的右准线方程和渐近线方程、右焦点坐标，由等边三角形EFG中，F到右准线的距离为正三角形边长的倍，求得c＝2a，从而可求得答案．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右准线为x＝，
两条渐近线渐近线方程为y＝±x，右焦点F（c，0），
可设E（，），G（，﹣），
∵△EFG是正三角形，
∴F到右准线的距离为正三角形边长的倍，
即有c﹣＝•，
化为c2﹣a2＝ab＝b2，
即b＝a，
∴c＝＝2a，
∴e＝＝2．
即双曲线的离心率e＝2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，利用等边三角形EFG中，F到右准线的距离为正三角形边长的倍，求得c＝2a是关键，属于中档题．
16．（1996•全国）椭圆25x2﹣150x+9y2+18y+9＝0的两个焦点坐标是（　　）
A．（﹣3，5），（﹣3，﹣3） B．（3，3），（3，﹣5）
C．（1，1），（﹣7，1） D．（7，﹣1），（﹣1，﹣1）
【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b，根据a2＝b2+c2求出c的值，然后根据椭圆的中心坐标即可得到两焦点的坐标．
【解答】解：把椭圆方程25x2﹣150x+9y2+18y+9＝0化为标准方程为：+＝1，
所以a＝5，b＝3，则c＝＝4，且椭圆的中心为（3，﹣1），
则两焦点坐标分别为（3，3）和（3，﹣5）．
故选：B．
【点评】此题考查学生灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．
二．填空题（共14小题）
17．（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　　．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，
∵M是线段AB的中点，
∴＝1，＝1，
∵直线AB的方程是y＝﹣（x﹣1）+1，
∴y1﹣y2＝﹣（x1﹣x2），
∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，
∴①②两式相减可得，即，
∴a＝b，
∴＝b，
∴e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．
18．（2016•山东）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是　2　．
【分析】可令x＝c，代入双曲线的方程，求得y＝±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|＝3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x＝c，代入双曲线的方程可得y＝±b＝±，
由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），
由2|AB|＝3|BC|，可得
2•＝3•2c，即为2b2＝3ac，
由b2＝c2﹣a2，e＝，可得2e2﹣3e﹣2＝0，
解得e＝2（负的舍去）．
故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
19．（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为　　．
【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m＝﹣c，n＝2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m＝﹣c，n＝2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣＝1，
可得e2＝＝5，
解得e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．
20．（2014•浙江）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是　　．
【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，从而可求双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则
与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，
∴＝﹣3，
∴a＝2b，
∴＝b，
∴e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．
【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y＝x的距离为c，
可得：＝b＝，
可得，即c＝2a，
所以双曲线的离心率为：e＝．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．（2014•江西）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　　．
【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|．
∴|AF1|＝2|AF2|．
设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|＝n，
∴e＝＝＝＝＝．

【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．
23．（2009•重庆）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．
【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
24．（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝　　．
【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|＝|BF'|＝6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|＝8，从而得到|AF|2+|BF|2＝|AB|2，得∠AFB＝90°，所以c＝|OF|＝|AB|＝5．根据椭圆的定义得到2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6
∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，
∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|＝8
由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2
∴∠AFB＝90°，可得|OF|＝|AB|＝5，即c＝5
因此，椭圆C的离心率e＝＝
故答案为：

【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
25．（2013•江西）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　6　．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣，
准线方程与双曲线联立可得：，
解得x＝±，
因为△ABF为等边三角形，所以，即p2＝3x2，
即，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．
26．（2013•福建）椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　　．
【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α＝60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，可得，进而．
设|MF2|＝m，|MF1|＝n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系＝tanα，∴α＝60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴，∴．
设|MF2|＝m，|MF1|＝n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e＝．
故答案为．

【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
27．（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　3　．
【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直线x＝m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF＝2．
此时直线x＝m＝c＝1；
把x＝1代入椭圆的方程得：y＝±．
∴AB＝3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB＝×3×EF＝×3×2＝3．
故答案为：3．

【点评】本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．
28．（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为　　．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，
由题意知，2a＝4，a＝2．
∵∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为C（﹣1，1），
因点C在椭圆上，∴，
∴b2＝，
∴c2＝a2﹣b2＝4﹣＝，c＝，
则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
29．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|＝6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a
所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2＝30°，由余弦定理，
∴|PF2|2＝|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2＝4c2+16a2﹣2×2c×4a×，
∴c2﹣2ca+3a2＝0，
∴c＝a
所以e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．


30．（2009•北京）椭圆+＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝　2　，∠F1PF2的大小为　120°　．

【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|＝6，且|PF1|＝4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2
＝
＝＝﹣，
∴∠F1PF2＝120°．
故答案为：2；120°
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．
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日期：2020/5/11 20:54:02；用户：徐国忠；邮箱：orFmNt9ZGXpgfPN7kHOVTV2gYG9M@weixin.jyeoo.com；学号：24724187