高考第一轮复习第32讲 不等式综合应用试卷

 第三十二讲 不等式综合应用

A组

一、选择题

1．(2017年山东卷理)若，且，则下列不等式成立的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

  ，所以选B.

2．（2016年新课标1理）设集合，，则

（A）  （B）  （C）  （D）

解：，．

故．

故选D．

3．（16年四川卷文） 设:实数满足且，：实数满足，则是的（    ）

(A)充分不必要条件           (B)必要不充分条件    

(C) 充要条件                (D) 既不充分也不必要条件

解：由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件，选A.

4．下列不等式一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．

解：由基本不等式得,故选C.

5．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） 

 A． B．C．D．

解：由函数是定义域为的偶函数，得函数的图象关于对称，又因为在上单调递增，

∴  

， 故选D

二、填空题

6．(2016年高考上海卷理)设若关于的方程组无解，则的取值范围是_________.

 解：将方程组中的（1）式化简得，代入（2）式整理得，方程组无解应该满足且，即且，所以.所以答案为

7．若实数满足，则的最小值为          .

解析：又，

，当且仅当时取等号.

8．（2016年新课标2文）若满足约束条件，则的最小值为__________

解：由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．故答案为：

三、解答题

9．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．

（Ⅰ）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；

（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？

解：（Ⅰ）由题意得

        ，

    整理得．    

  （Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

即                  

   解不等式得 ．

   答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．

10．设函数，其中，区间.

（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；

（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.

解：（Ⅰ）令

   解得 ，

   的长度

（Ⅱ） 因为  则，

 设区间长度为，则由（1）知

所以，则.

故关于在上单调递增，在上单调递减.

  ，

由   

所以

11．已知函数．

 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

解析：(I)因为，所以，．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

(II)令，则.

因为，所以在区间上单调递增．所以,,

即当时，．

11．已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围

解法1：恒成立即不等式恒成立，令

   只需即可，

   ，令（分析的单调性）

   当时   在单调递减，则

   当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）

   若，单调性如表所示

   若，则在上单调递增，，符合题意

综上所述：

解法2：，令，则只需即可

   令，

      在上单调递增

   ，在上单调递增

         （无最大值，只有临界值，故可取等号）

B组

一、选择题

1．（16年浙江文）已知，且，若 ，则（    ）

A.     B.

C.     D.

解：，

当时，，，；

当时，，，．

故选D．

2．（2016年高考四川卷理） 设：实数满足，：实数满足 则是的（     ）

（A）必要不充分条件         （B）充分不必要条件 

（C）充要条件               （D）既不充分也不必要条件

解：画出可行域如图所示，可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆内，故选A

3．（16年浙江文）若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ）

A.    B.    C.     D.

解：画出平面区域如图所示，由，得.由，得.

由题意可知，当斜率为的两条直线分别过点和时，两直线的距离为.故选B

4．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ m2）分别为，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是

A.        B.

C.        D.

解析：由,, 得

，故;

同理，

，

故.

又 ,故

.故最低费用为，选B.

二、填空题

5．已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为____.

解：由值域为,当时有,即, 

∴.

∴解得,.

∵不等式的解集为,∴,

解得.   故填：

6．(16年上海理)已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.

解：由是偶函数可知，单调递增；单调递减

又，

可得，即，故填：

三、解答题

7．(2016年高考天津卷文)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(Ⅰ)用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

（Ⅰ）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.

（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数为，这是斜率为，随变化的一族平行直线，为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域中的点时，截距取最大，的值最大.解方程组  得点，所以.

答：生产甲肥料车皮，乙肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.

8．已知函数 (为实常数)．

(1)若函数图象上动点到点的距离的最小值为，求的值；

(2)若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；

(3)设，若不等式在时有解，求的取值范围．

解　(1) 设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，   解得

当时，   解得

 所以或.

(2)由题意知，任取，且，

则

因为，

所以，即.

由，得，所以.

所以的取值范围是]．

(3)由，得.

因为，所以.

令，则，所以

令，，

于是，要使原不等式在时有解，

当且仅当．

因为，

所以的图象开口向下，

对称轴为直线.

因为，所以当，

即时，；

当，即时，.

综上，当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为．

9．（16年浙江文）设函数，.

证明：（I）；   （II）.

证明：(Ⅰ)因为

      由于，有，即，

所以

（II）由得，

故

所以

由（I）得，

又因为，所以，

综上所述，

10．设函数,R).

(Ⅰ)当时，求函数在上的最小值的表达式；

（Ⅱ）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.

解：(Ⅰ)当时，，故对称轴为直线.

当时，.

当时，.

当时，.

综上，.

（Ⅱ）设为方程的解，且，则，由于，     因此.

当时，，由于和，所以.

C组

一、选择题

1（16年新课标1理）若，，则（    ）

 （A）    （B） 

（C）  （D）

解：对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误

对B： 由于，∴函数在上单调递减，

∴，B错误

对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和

构造函数，则，在上单调递增，因此

又由得，∴，C正确

对D： 要比较和，只需比较和

而函数在上单调递增，故

又由得，∴，D错误

故选C．

2．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于，则的最小值为（　　　）

A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16

解：根据题意，有，所以有，所以

，故选C．

3．设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（  ）

(A)       (B)      (C)       (D)

解：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.

4．若定义在上的函数 满足，其导函数满足

，则下列结论中一定错误的是

A.         B.

C.    D.

解：由已知条件,构造函数,则,故函数在R上单调递增,且,故,所以,即，

所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数,则，故函数在R上单调递增,且,故,所以，即,选项A，B无法判断，故选C.

二、填空题

5．已知，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________

解析：，所以，

任意的，总存在，使得的最小值大于的最小值，所以的取值范围是，故填.

6．已知正数满足:，，则的取值范围是____.

【解析】条件，可化为:.

设,则题目转化为:

已知满足,求的取值范围.

作出()所在平面区域(如图).求出的切

线的斜率,设过切点的切线为, 

则,要使它最小,须.

∴的最小值在处,为.此时,点在上之间.

当()对应点时, ,

∴的最大值在处,为7.

∴的取值范围为,即的取值范围是.

三、解答题

7．（16年上海理）已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

解：（1）由，得，解得．[来源:Zxxk.Com]

（2），，

当时，，经检验，满足题意．

当时，，经检验，满足题意．

当且时，，，．

是原方程的解当且仅当，即；

是原方程的解当且仅当，即．

于是满足题意的．

综上，的取值范围为．

（3）当时，，，

所以在上单调递减．

函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意

成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，时，

有最小值，由，得．

故的取值范围为．  

8．设函数，曲线在点处的切线为.

(Ⅰ)求；        （Ⅱ）证明：．

解：(Ⅰ) 函数的定义域为，

由题意可得，   故 ．

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，从而等价于，

设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为   ．

设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为．

综上所述，当时，，即．

9．（16年新课标1理）已知函数有两个零点．

 （Ⅰ）求的取值范围；

 （Ⅱ）设是的两个零点，证明：．

解：(I) .

(i) 设，则，只有一个零点.

(ii) 设，则当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增.

又，，取满足且，则

        ，

故存在两个零点.

(iii) 设，由得或.

若，则，故当时，，因此在单调递增. 又当时，所以不存在两个零点.

若，则，故当时，；当时，. 因此在单调递减，在单调递增. 又当时，所以不存在两个零点.

综上，的取值范围为.

(II) 解法1：不妨设. 由(I)知，，，，在单调递减，所以等价于，即.

由于，而，所以

     ，

设，则.

所以当时，，而，故当时.

从而，故.

解法2： 由已知得：，不难发现，，

故可整理得：

设，则，那么，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

设，构造代数式：

设，

则，故单调递增，有．

因此，对于任意的，．

由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有

令，则有

而，，在上单调递增，因此：

整理得：．

10．已知，函数．

(Ⅰ)证明：当时，

(ⅰ)函数的最大值为；

(ⅱ) ；

(Ⅱ) 若对恒成立，求的取值范围．

解： (Ⅰ)(ⅰ) .

当时，在上恒成立，

此时的最大值为：；

当时， 在上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

       ；

综上所述：函数在上的最大值为；

(ⅱ) 要证，即证．

亦即证在上的最大值小于(或等于) ，

∵，∴．

当时，在恒成立，

此时的最大值为：；

当时，在上的正负性不能判断，

令．

所以

综上所述：在上的最大值小于(或等于) ．

即在上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在上的最大值为；

且函数在上的最小值比要大．

∵对恒成立，

∴．

取为纵轴，为横轴．又，则可行域为：和，

目标函数为．

作图如下：

由图易得：当目标函数为过时，

有．

∴所求的取值范围为：．