高中数学教学论文-不等式证明中的构造函数策略

不等式证明中的构造函数策略有些不等式证明问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，则可以顺利得到证明。把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题.一、构造一次函数证明不等式例1. 设0<x<1，0<y<1，0<z<1，求证：x (1－y) + y(1－z) + z(1－x)<1.分析：把结论的左式看成以x为主元的一次函数，利用一次函数的单调性即可得证.证明：设f(x)=x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)=(1－y－z)x+(y+z－yz)（0<x<1）∵0<y<1 ，0<z<1∴f(0)= y + z－yz =1－(1－y)(1－z)<1f(1)= 1－yz <1∴当x∈(0，1)时，f(x)<1即x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) <1评注：⑴f(x) = (1－y－z)x + (y+z－yz)在x∈(0，1)上的图象是线段（不含端点），故f(x)<1f(0)<1且f(1)<0.⑵本题也可就1－y－z在（－1，1）内的不同情况分类说明.二、构造二次函数证明不等式例2.若0<a<，求证：b－b2 < .分析：结论即b2－b+>0，可将左式看成是以b为主元的二次函数（其中0<b<），再予以证明.证明：令b=x，由0<a<，得x=b∈(0，).构造二次函数f(x)=x2－x+， x∈(0，).其对称轴为x=⑴当≤，即a≥2时，f(x)在(0，)上单调递减.于是f(x)>f()=>0⑵当>，即0<a<2时，有f(x) > f() =－>0综上，当x∈(0，)时，f(x) = x2－x + >0恒成立,即不等式b－b2 <成立.评注：1、本题旨在构造二次函数，并对定轴x=与动区间（0，）间的不同位置情况分类讨论。2、本题也可将结论转化为(b－b2)a + (b－b2)－1<0（0<a<），把左式看作是以a为主元的一次函数，再予以证明.三、构造分式函数证明不等式例3. 设a、b、c∈R+，且a+b>c，求证.分析：不等式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造分式函数f(x) = 进行证明.证明：构造函数f(x) = = 1－（x∈R+），易证函数f(x)在其定义域R+上是单调递增函数.∵a+b>c>0，∴f (a+b) > f(c)，即 又 故.评注：函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果.四、构造三角函数证明不等式例4.已知集合M={x | |x|≤1}，x1、x2∈M，求证x1x2 +≤1.分析：分析条件和结论的形式特征及其内在联系，联想到正、余函数的性质和相关公式，可构造三角函数来转化并证明结论.证明：由题意，构造函数x = f(θ) =cosθ，于是x1=cosθ1，x2=cosθ2.∴x1x2 +=cosθ1cosθ2+=cosθ1cosθ2 +|sinθ1sinθ2|=cosθ1cosθ2±sinθ1sinθ2=cos(θ1±θ2)≤1即 x1x2 +≤1评注：对于和三角有一定联系或结构上有相似之处的不等式证明问题，根据题目的特点，合理构造三角函数，利用三角公式和性质进行证明，不失为处理问题的一条捷径.在不等式证明中，通过构造函数模型来探求证题思路是优化思维品质的有效途径，也是解题者认识问题本质的具体体现.