高中数学教学论文-参数法巧解直线与圆锥曲线问题-苏教版

参数法巧解直线与圆锥曲线问题直线与圆锥曲线问题是高中数学的难点，也是高考中的热点问题，同时它广泛地存在于科学研究、工程技术中.下面我们运用参数法来解决直线与圆锥曲线的一些常见问题，本文试图就几类较为常见问题的探究，给读者一些有益的启示.1.弦长问题例1过点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点,求弦的长.解(一)求出直线方程，并与双曲线方程联立，求出交点坐标，再由坐标求出线段长.该法思路较清晰，但在计算交点的时，计算量往往较大.解(二)求出直线方程，并与双曲线方程联立消元，设两点坐标为 再利用韦达定理求出线段长.该法解题中较常用，但要注意变形过程.下面我们用参数法来解：解(三)直线的参数方程为，将直线的参数方程代入双曲线方程，得．设A、B对应的参数分别为，, ＝.线段的长为.2.中点弦问题例2已知直线过点交椭圆于两点, 且点平分弦求直线的方程.解(一) 可设交点坐标分别为,分别代入椭圆方程，并联立作差，利用中点坐标，可以求出直线斜率，进而求出直线方程，并检验所求的直线与椭圆是否有两个交点,但该法还不应忽视特殊情况时.下面我们用参数法来解：解(二) 设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，将直线的参数方程代入椭圆方程，得，设A、B对应的参数分别为，点为中点  ，则有即，所以直线的方程为.3.直线与圆的位置关系问题例3过圆外一点作直线(1) 若与圆相切，求直线的方程.（2）若与圆相交，求直线的斜率的范围.(1)解(一)讨论直线斜率不存在时，是否符合，进而讨论斜率存在，设出直线方程，根据圆心到直线距离等于半径，求出斜率. 该法在解题中较常用，但要容易忽视直线斜率不存在的情形. 解(二) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用求出斜率. 但仍不能忽视直线斜率不存在的情形. 下面我们用参数法来解：解(三) 设过点的直线的参数方程方程为，其中为倾斜角. 将直线的参数方程代入圆方程，得直线与圆仅有一个交点  上述方程有且仅有一解，所以得当时，直线斜率不存在，所以直线的方程为，当时，直线斜率为，所以直线的方程为.（2）解(一) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用求出斜率的范围. 但不能忽视直线斜率不存在的情形. 下面我们用参数法来解：解(二) 将直线的参数方程代入圆方程，得直线与圆相交  上述方程有两解，所以，即当时，上述不等式不成立;当时，可化为所以直线的斜率的范围是.直线与圆锥曲线的位置关系，也可以通过将直线参数化后与圆锥曲线方程联立，通过转化为一元二次方程的来解决，能起到化繁为简.上述几类问题的求解，都是将直线方程设为标准的参数式，即：（其中为参数，为倾斜角），然后求解.