解析几何中若干经典结论及其应用

这是一份解析几何中若干经典结论及其应用，共32页。试卷主要包含了定点类结论，定值类结论，定轨类结论，极点与极线等内容，欢迎下载使用。
解析几何中若干经典结论及其应用——结论部分
一、定点类结论
结论1 设AB是圆锥曲线C的弦，点A关于x轴的对称点（点，B不重合），且AB
过点P（t，0）．
（1）若曲线C为椭圆，则直线B过定点Q；
（2）若曲线C为双曲线，则直线B过定点Q；
（3）若曲线C为抛物线，则直线B过定点Q．
结论2 过圆锥曲线上的一个定点任作两条互相垂直的弦MP，MQ，若曲线为非
等轴双曲线，则直线PQ必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值．
（1）若M在椭圆上，则PQ过定点；
（2）若M在双曲线上，
当时，PQ过定点；当时，PQ的斜率为；
（3）若M在抛物线上，则PQ过定点．
结论3 A，B是抛物线上异于顶点的两动点，点为抛物线上
一定点，过M作两条弦MA，MB．
（1）若（非零常数），则直线AB过定点；
（2）若（非零常数），则直线AB过定点；
（3）若直线MA，MB的倾斜角分别为，且为定值，当
变化时，直线AB过定点．
一般结论：A，B是圆锥曲线上两动点，点为其上一定点，MA，MB的倾斜角分
别为，则以下条件均可得出直线AB过定点：
①（非零常数）； ②（非零常数）；
③为定值； ④为常数．
结论4 已知点P为圆锥曲线上一点，若曲线在点P处的切线交准线于点A，则以线段PA为
直径的圆恒过与该准线对应的焦点．
结论5 已知曲线的左顶点为A，过右焦点F的直线交曲线于点B，C，直线AB，
AC分别交右准线于点M，N，则以MN为直径的圆必过F．
注：在抛物线中，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立．
结论6 已知AB是过圆锥曲线的焦点F的弦，E是与焦点F相对应的准线l和圆锥曲线对称
轴的交点，点C在l上，则直线AC过线段EF的中点的充要条件是BC∥EF．
推论1 若F是圆锥曲线的焦点，E是与F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，AB是
过焦点F的弦，FE∥BC，N是线段EF的中点，则BC与AN的交点C在准线l上．
推论2 若F是圆锥曲线的焦点，E是与F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，点B
在圆锥曲线上，点C在准线l上，FE∥BC，N是线段EF的中点，则直线BF与CN
的交点A恰在圆锥曲线上．
结论7 已知椭圆，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的
弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，则直线MN必过定点．

二、定值类结论
2．1 与有关的结论
结论8 （1）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P是椭圆上
异于M，N的一点，若直线PM，PN均存在斜率，则；
（2）已知M，N是双曲线上关于原点对称的两动点，P是
双曲线上异于M，N的一点，若直线PM，PN均存在斜率，则．
结论9 （1）已知M，N是椭圆上的两动点，P是线段MN的中点，
O为坐标原点，若直线OP，MN均存在斜率，则；
（2）已知M，N是双曲线上的两动点，P是线段MN的中
点，O为坐标原点，若直线OP，MN均存在斜率，则．
结论10 已知是椭圆上的两动点，△OMN的面
积为S，点M，N均不在坐标轴上，O为坐标原点，则以下五个命题等价：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥若P为椭圆上一点，且，则．
结论11 已知圆锥曲线上一定点P（x0，y0），过P
作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与交于异于P的两点M，N，则直线MN
的倾斜角为定值．
注：①若曲线为椭圆，则，即；
②若曲线为双曲线，则，即；
③若曲线为抛物线，则．
该命题的逆命题也成立．
证明：当点P在曲线的对称轴上时，
直线MN的倾斜角为0°或90°，结论显然成立；
当点P不在曲线的对称轴上时，直线PM，PN，MN的斜率均存在且都不为零，
此时条件可设为，设，
则．
由两边同时除以，
得 ①，
同理 ②，
①+②，得 ③，
①-②，得 ④，
又，
所以．
代入③④，得，
两式相除，得（定值）．
所以当时，；
当时，；
当时， ．
2．2 与a2有关的结论
结论12 已知曲线E：的左右顶点为，点
不在曲线E上，QA，QB分别交E于C，D，直线CD交x轴于
点P，则有．
注：曲线E可以表示焦点在x轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致．
结论13（1）已知A，B为椭圆上两动点且关于x轴对称，P为x轴上
一定点，连结PA交椭圆于点M，则BM恒过定点Q，且有；
（2）已知A，B为双曲线上两动点且关于x轴对称，P为x
轴上一定点，连结PA交双曲线于点M，则BM恒过定点Q，且有；
（3）已知A，B为抛物线上两动点且关于x轴对称，P（a，0）为
一定点，连结PA交抛物线于点M，则BM恒过定点Q，且有．
结论14（1）设A，B是椭圆长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外
部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，
且，则点A，B的横坐标满足；
（2）设A，B是双曲线实轴上分别位于双曲线一支内（含
焦点的区域），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与双曲
线的这一支相交于P，Q两点，且，则点A，B的横坐标满足
.
2．3 焦半径公式
结论15 （1）已知椭圆中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为θ，
点A在x轴上方，则，．
（2）已知双曲线中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为θ，
点A在x轴上方，则，．
（3）已知抛物线中，弦AB过焦点F，且倾斜角为θ，点A在x轴
上方，则，．
注：在（1）（2）中易得，若左焦点改为右焦点，其他条件不变，
则，．
结论16（1）设直线l过椭圆的一个焦点F，且与椭圆相交于P，Q
两点，若，则（）.
（2）设直线l过双曲线的一个焦点F，且与双曲线的同一支相交于P，Q两点，若，则.
（3）设直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于P，Q两点，
若，则.
注：以上结论利用结论15极易获证．

结论17 在圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所
在坐标轴交于点R，则．
2．4 与垂直有关的结论
结论18 （1）已知O为原点，P，Q为椭圆上两点且OP⊥OQ，则
，O到PQ的距离为．
（2）已知O为原点，P，Q为双曲线上两点且OP⊥OQ，则
， O到PQ的距离为．
结论19 已知O为原点，P，Q为抛物线上两点且OP⊥OQ，则.
结论20 （1）若AB，CD是过椭圆焦点的弦，且AB⊥CD，
则；
（2）若AB，CD是过双曲线焦点的弦，且AB⊥CD，
则；
（3）若AB，CD是过抛物线焦点的弦，且AB⊥CD，则
．
注：其中e为圆锥曲线的离心率，p为焦点到相应准线的距离．

三、定轨类结论
结论21 已知是椭圆上的两动点，O为坐标原
点，则与以下命题①②等价：
①线段MN中点的轨迹方程为；
②若动点P满足，则P点的轨迹方程为．
注：命题①②与结论10中六个命题均等价．

结论22 设定点不在圆锥曲线上，过Q作直线
交曲线于M，N两点，P为动直线MN上异于Q的另一点，且满足，则
P点的轨迹是直线或其局部．
证明：设，
则，
不妨设Q在圆锥曲线外部，令，则
所以

．
此时P点的轨迹是直线在曲
线内的部分．同理易证得，当点Q在曲线内部时，P点轨迹为直线本身．
结论23 过椭圆外一点P向椭圆作两条切线PA，PB，若PA⊥PB，则
点P的轨迹方程为（蒙日圆）．
注：在双曲线中，点P的轨迹方程为．
结论24 过抛物线外一点P向抛物线作两条切线PA，PB，若PA⊥PB，则
点P的轨迹为抛物线的准线．
结论25 （1）已知长轴为A1A2的椭圆上有一动点P（不与A1，A2重合），
直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；
（2）已知长轴为A1A2的双曲线上有一动点P（不与A1，A2
重合），直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；
（3）已知抛物线上有一动点P（不与顶点O重合），直线PO与准
线l交于点M，P向准线作垂线，垂足为N，右焦点为F，则．

四、极点与极线
极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现．
极点与极线定义：已知圆锥曲线，则称点和
直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)
即可得到点极线方程．
极点与极线作法：P
E
F
G
H
M
A
N
B
图1
如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线
于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，
则直线MN为点P对应的极线．
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．
由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点
M所对应的极线．MNP称为自极三点形．若连接MN交圆锥曲线于
点A，B，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线．
事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法．
结论26（1）当P在圆锥曲线上时，则极线是曲线在P点处的切线；
（2）当P在外时，则极线是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线
（即切点弦所在直线）；
（3）当P在内时，则极线是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．
证明：（1）由极点极线的定义，对于曲线的方程，
两边求导得，解得，
于是曲线在P点处的切线斜率为，
故切线的方程为，
化简得（*），
又点P在曲线上，故有，
从中解出，然后代入（*）式，可得曲线在点P处的切线为
．
P
M
N
图2
（2）设过点P所作的两条切线的切点分别为，
则由（1）知，在点M，N处的切线方程分别为

和，
又点P在切线上，所以有，
和，
观察这两个式子，易知点都在
上，
又两点确定一条直线，故切点弦MN所在的直线方程为
．
Q(m,n)
T
S
图3
P(x0,y0)
.
（3）设曲线过的弦的两端点分别为，
则由（1）知，曲线在这两点处的切线方程分别为

和，
设两切线的交点为，则有
，
，
易发现均在直线上，
又两点确定一条直线，所以直线ST的方程为，
又直线ST过点，所以，
因而点在直线上，
所以两切线的交点的轨迹方程是．

结论27 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的
极线，反之亦然．
P
A
B
P
点P的极线
点P的极线
图4（1）
图4（2）









即极点与极线具有对偶性如图4（1）（2）所示．
结论28设AB，CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC，BD交于点M，则动点
M的轨迹是圆锥曲线的相应准线．
注：直线AD，BC交点的轨迹也是圆锥曲线的准线．当焦点弦AB，CD重合时，直
线AC，BD退化为圆锥曲线的两条切线．
推 论 设AB是圆锥曲线的动焦点弦，过弦端点A，B分别作圆锥曲线的切线，则两切线
交点的轨迹是圆锥曲线的准线．
第一讲 解析几何经典结论选证
例1 设AB是椭圆的弦，点A关于x轴的对称点（点，B不重合），
且AB过点P（t，0），求证：直线B过定点Q．
分析：欲证明直线B过定点，可设出直线B的方程：，接下来的目标
为根据条件寻找k，m的关系式．条件AB过点P（t，0），可转化为，从而有
，消去y1，y2得，以下进入设
而不求的套路．
证明：设，则设直线B：，
将其代入消去y并整理，得，

B
Q
O
x
y
P
A
则，
因为直线AB过点P（t，0），所以，
所以，
消去y1，y2得，
即，化简得，所以，
所以直线B：，所以直线B过定点Q．
点评：本结论也可通过设，得从而直线AB的方程
为：，所以点P的坐标为（，0），同理求出Q点坐
标，以下通过消去x1，x2，容易证出PQ的横坐标乘积为a2，获证．

例2 过抛物线上的一个定点任作两条互相垂直的弦MP，MQ，
求证：直线PQ必过定点．
分析：先设出，将弦MP，MQ互相垂直转化
为，将其表示成的关系，代入直线PQ的方程化简即可获证．
证明：设，
因为，
P
O
x
y
M
Q
所以，
即，
所以（*），
直线PQ的方程是，
由（*）式，，又，
代入上式化简得，，
显然直线PQ必过定点．
注：也可设直线PQ的方程是，代入抛物线方程消去x，由韦达定理，可求
出代入（*）式，化简可得，从而获证．

例3 已知AB是过圆锥曲线的焦点F的弦，E是与焦点F相对应的准线l和圆锥曲线对称
轴的交点，点C在l上，求证：直线AC过线段EF的中点的充要条件是BC∥EF．
证明：充分性：如图，设直线AC与EF交于N，过A作AD⊥l于D．
由圆锥曲线的定义，有，
A
B
C
D
E
F
N
由AD∥FE∥BC，得，
从而．
必要性：由AD∥FE，FN=NE，连结BD，
则，
所以，所以FE∥BC．



例4 已知椭圆中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为θ，点A在x轴上
方，求证：，．
A
B
N
O
x
y
P
F
M
l

d
证明：如图，
所以
又，所以，
所以，
所以，用替换，得．
说明：该结论用圆锥曲线的极坐标方程稍作变形即可证明．

例5 已知是椭圆上的两动点，O为坐标原点，
，求证：线段MN中点的轨迹方程为．

证明：设线段MN中点为，则由题意可得
，且，
因为，所以，所以，
所以，
所以线段MN中点P的轨迹方程为．

练习1在椭圆中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平
分线和焦点所在坐标轴交于点R，求证：．
证明：如图，不妨设直线AB的倾斜角为锐角（不为锐角时可类似证明），
A
B
O
x
y
F
M

R
则
（结论15）
，
所以，又，
所以．
练习2已知椭圆，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的
弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，求证：直线MN必过定点．
证明：①当直线AB的斜率不存在或为零时，易知直线MN与x轴重合，显然成立；
②当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为：y=k(x-m)，
则直线CD的方程为：，设，
A
B
D
O
x
y
C
M
N
将y=k(x-m)代入，得
，
则，
所以，
所以，同理，
若⊥x轴，即时，直线MN过定点；
若不与x轴垂直时，，
直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，显然过定点．
练习3设A，B是椭圆长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的
两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，
且．求证：点A，B的横坐标满足．
证明：设，A（m，0），
代入椭圆方程得：，
则，
若，则，
所以，所以，
所以，
所以，即，
所以，从而．
练习4已知是椭圆上的两动点，O为坐标
原点，若，动点P满足，则P点的轨迹方程为
．
证明：由题意可得，设点，则
因为，所以，所以，
所以

，
所以P点的轨迹方程为．










第二讲 解析几何结论在高考与模考中的应用
一、有关定点类结论的应用
例1 （2017年全国卷1第20题）已知椭圆C：上四点P1（1，1），
P2（0，1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率
的和为–1，证明：l过定点．
解：（1）（过程略）；
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，
由题设知，且，可得A的坐标（t，），B的坐标（t，）.
则，得，不符合题设．
从而可设l：（）．将代入，
得，
由题设可知．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
而．
由题设，故．
即，解得．
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）．
注：本题为结论3的特殊情形．我们可以得出弱于结论3的较一般情形：已知椭圆
C：的上顶点为B，动直线l不经过短轴端点且与椭圆C相交
于M，N两点，则直线BM与BN的斜率之和为定值的充要条件是l过定点
．同学们课后可以尝试证明．

二、有关定值类结论的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，AB为椭
圆的一条弦（不过坐标原点），直线恰过弦AB的中点且与椭圆交于P，
Q两点，过P作x轴的垂线，垂足为R．若直线AB和直线QR倾斜角互补，且
△PQR的面积为，A
B
P
O
x
y
Q

R
求椭圆的方程．
分析：注意到题中出现的三条直线AB，QR，PQ
两两斜率均有关系，△PQR的面积即点Q的横纵
坐标之积，本题将不难求解．
解：设弦AB的中点为，，．
由且，两式相减得，，
即，
因为，，所以，即．
因为椭圆的离心率为，即，所以，即为定值．
设（，），则，，所以直线QR的斜率为．
因为直线AB和直线QR倾斜角互补，所以直线QR的斜率为，所以．
由，且，所以．
因为△PQR的面积为，而，所以，，即．
从而，又，解得，．所以椭圆的方程为．

例3 （2012年江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦
A
P
O
x
y
B

F1
F2
点分别为F1，F2．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，
AF2与BF1交于点P．
（1）若，求直线AF1的斜率；
（2）求证：是定值．
分析：题中出现的线段，AF2，BF1，均为椭圆的焦半径，利用结论15，16
及三角形相似知识容易求解．
解：设直线与直线的倾斜角为θ，则
，（结论15）．
（1）所以，所以．
所以直线AF1的斜率为．
（2）证明：设则（结论16）．
因为AF1∥BF2，所以，所以，
所以，同理，
所以（定值）．

三、有关定轨类结论的应用
例4 在直角坐标系xoy中，椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点P
是椭圆外一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P作两条互相垂直的直线，，且，与椭圆均只有一个公共点，分别

P
B


O
A


为A，B两点.记O到，的距离分别为，求的取值范围.
分析：由条件过点P作两条互相垂直的直线，，
且，与椭圆均只有一个公共点，结合结论23知
点P的轨迹为圆．
解：（1）椭圆方程为（过程略）；
（2）设P(m，n)(m≠2)，则切线方程为．
联立方程组，
消去y得，
化简为，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简得即，
所以 又PA⊥PB，所以，即，
即 (m≠2)*，当时，点适合*式，
所以P点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又过O分别作PA、PB的垂线，垂足分别记为M，N，
因为PA⊥PB，所以四边形MONP为矩形，所以，其中3≤≤4．
所以，
又，即，所以解得．

四、极点与极线结论的应用
例5 （2010江苏18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左，右顶点
为A，B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点
B
M
O
x
y
T
A
N
，其中m>0，．设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点
（其坐标与m无关）．
分析：设直线MN与x轴交于点D（x0，0），
点T（9，m）在点D（x0，0）对应的
极线上，所以，所以，
所以直线MN必过轴上一定点（1，0）．
解：设直线MN：x=ky+a，因为，所以，
又x1=ky1+a，所以；同理，得．
由得，
所以，，
将两式相除，得，所以，所以．
因此，直线MN必过轴上一定点（1，0）．

练习1 （2011江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆
于P，A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延
长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．对任意>0，求证：PA⊥PB．
分析：由结论8知直线PB，AB的斜率之积为常数，注意到直线PA，CA（AB）的斜
率为倍数关系，从而容易得出直线PA，PB的斜率关系．
A
B
O
x
y
P

C
证明：设点，则
且，
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．
因为点C在直线AB上，
所以，
所以
，
所以，所以PA⊥PB．




练习2（2016南通二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）
A
B
P
O
x
y
C

的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足．
（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线OA，OB的斜率
之积为，求实数m的值．
分析：（2）中注意到直线OA，OB的斜率
之积为，恰为，满足结论10中命题①，
从而有结论10中命题⑥成立，即若能由条件变形出
，则有．而可化为，
又，两式消去得，从而，获解．
解：（1）椭圆的方程为（过程略）．
（2）设，
因为，所以．
因为，所以，
即 于是
代入椭圆方程，得，
即，③
因为A，B在椭圆上，所以． ④
因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合②知．　　⑤
将④⑤代入③，得，解得．　
练习3 (2011四川卷)过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于
A
B
P
O
x
y
Q

D

C

两点A(a，0)，B(－a，0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.
直线AC与直线BD交于点Q.
（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时，求证：为定值．
分析：显然点Q在点P（x0，0）对应的极线
上，所以点Q的坐标可设为，从而易得
．
解：（1）椭圆方程为，CD＝（过程略）；
（2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1.代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.
解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得
因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．又P点坐标为.[来源:Zxxk.Com]
所以＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故为定值．[来源:学+科+网]

练习4 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M
A
B
O
x
y
D

C

M

（-1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．
求证：为定值．
分析：注意到由结论8知，直线AD，BD的斜率之积
为常数，由结论3的逆命题知，直线BC，BD的斜率
之积为常数，从而知直线AD，BC的斜率成倍数．
证明：连结BD，设，，
直线CD的方程为：，代入椭圆方程，
整理得，，所以，
所以
，
又，
所以（定值）．




















第三讲 解析几何结论在自招与竞赛中的应用
例1 在平面直角坐标系xOy中，若为椭圆上一定点， 过
M任作两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．
分析：本题的常规证明方法十分繁冗，这里我们利用齐次化大法来给出证明．思路为：
先将坐标原点移到M点，再构造新坐标系下关于的一元二次方程，弦MP，MQ
的斜率就是该方程的两根，由题意两根之积为-1．
证明：将坐标原点平移到点，新旧坐标关系满足则
新坐标系下椭圆的方程为，设直线PQ：，
将椭圆方程展开，得，
即，
P
Q
O
x
y
M
因为点在椭圆上，所以，
所以，将其齐次化处理，
得，
所以，
两边同时除以，得 ，
所以弦MP，MQ的斜率之积为，
所以，
代入直线，并整理得，
易求出过定点，
所以在原坐标系中直线PQ过定点．
注：利用齐次化大法比较方便解决有关斜率之积、斜率之和、斜率互为相反数等问题，
如结论2，3，7，18的证明．
例2 (2006年湖南省数学竞赛)设A，B分别是椭圆和双曲线
的公共的左，右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的两个
动点，其满足．设直线AP，BP，AQ，BQ的
斜率分别为k1，k2，k3，k4．
（1）求证：k1+k2+k3+k4=0；
（2）设F1，F2分别是椭圆和双曲线的右焦点，若PF1∥QF2，求的值．
A
B
P
O
x
y
Q

分析：（1）设P，Q的坐标，通过计算k1+k2和k3+k4，
发现它们是只与P，Q的坐标有关的常数，再根据
O，P，Q三点共线，可得出P，Q的坐标关系，代
入即可获证；（2）注意到k1k2与k3k4均为常数，且
互为相反数，结合（1）中已求，考虑先研究
与的值．
解：（1）设，，则
①，
同理，，
又因为
所以 所以O，P，Q三点共线，
所以，所以．
（2）因为P，Q分别在双曲线和椭圆上，
所以② ，③，
又所以④，
由②③④，可解出，
又因为PF1∥QF2，所以，
所以，
再由①得，，同理，
又，同理，
所以．
B
A
D
O
x
y
C
N
M
F
例3 (2013年四川省数学竞赛)过椭圆的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD．
设AB，CD的中点分别为M，N．
（1）求证：直线MN必过定点，并求出这个定点；
（2）若弦的斜率均存在，求△FMN的面积的最大值．
解：（1）由结论7（课时1练习2已作过证明），
直线MN必过定点，下面再给出利用极坐标方程的证明：
以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为：，
设，其中
，
所以点即记，
点即记，
所以 ①
设直线MN上任意一点，则直线的极坐标方程为
，
令，得 ②
由①②得时，，即点在直线MN上，
又因为c=1，所以在直角坐标系中直线MN过定点．
（2）由（1）△PMN的面积为

，
所以当时，△PMN的面积有最大值为．

例4 设A，B为椭圆上的动点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，
AB的中点M的轨迹为E，点P，Q，R为曲线E上三点，且，若
△PQR的面积为，求曲线E的离心率．
分析：结合结论10和结论21知，由△AOB的面积为，可得出AB的中点M的轨
迹为以为方程的椭圆，从而条件变为：已知椭圆的内接△PQR
以原点为重心且面积为，以下利用仿射变换（高考慎用）求解较方便．
解：设
所以，
所以，所以，
又AB的中点M的横，纵坐标分别为：
所以，
所以曲线E的方程为．
由，可得O为△PQR的重心，
令，有，
O仍为△的重心，且，则，
所以a=2b，易求得离心率．



例5 已知△ABC为锐角三角形，以AB为长轴的椭圆分别交AC，BC于P，Q，分别过
A和Q作椭圆的两条切线交于点R，分别过B和P作椭圆的两条切线交于点S．
O
A
B
C
P
Q
R(-a,y2)
S(a,y1)
x
y
求证：点C在线段RS上．








证明：以AB为轴，线段AB为轴建立直角坐标系，
设椭圆方程为，并设点，
则R点对应的极线，
代入椭圆方程解得点，
直线，同理我们可以得到直线，
将直线BQ的方程与AP的方程联立解得，
可验证其坐标满足直线的方程，所以三点共线.
评析：用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.

练习1 (2013年贵州省数学竞赛)已知抛物线C：，过点A（1，2）作抛物线C的弦
AP，AQ．
（1）若AP⊥AQ，证明直线PQ过一个定点，并求出定点坐标；
（2）假设直线PQ过点T（5，-2），请问是否存在以PQ为底边的等腰△APQ？若存
在，求出△APQ的个数；若不存在，请说明理由．
解：（1）由结论2知，直线PQ过定点（5，-2）；（第一课时已证明过该结论）
（2）假设存在以PQ为底边的等腰△APQ，
设，，直线PQ的方程为：直线，
即，代入方程，
得，
所以，
所以PQ的中点坐标为，
由题意，得，
即，
记，则，
所以在R上为单调增函数．
又因为，
所以在（0，1）内恰有一个零点，
所以方程在R上有且只有一个根，
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．

练习2 (2011年全国联赛试题)作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，
A
B
O
x
y
P

且在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上；
（2）若60°，求△PAB的面积．
分析：（1）注意到，由结论11的逆命题，知直线PA，PB的倾斜角
互补，从而△PAB的内切圆的圆心应在直线上，从而可直接通过证明直线PA，
PB的斜率之和为零获证；（2）由（1）得直线PA，PB的方程均已知，故可求出A，
B的横坐标，再求出PA，PB的长度，再求出△PAB的面积．
（1）证明：设，，直线，将其代入椭圆方程，
化简并整理得，，
所以 ，
所以

．
又因为点P在l上方，所以的角平分线是平行于y轴的直线，
所以△PAB的内切圆的圆心在直线上．
（2）若时，结合（1）的结论可知．
直线的方程为：，代入中，
消去得．
它的两根分别是和，所以，即．
所以．
同理可求得．

练习3 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别为椭圆的左右顶点，M，N是
P
O
x
y
M
B
A
N
椭圆上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于．过点A作交椭圆
C于点P，求证：．
分析：△OMN的面积恰为，由结论10知
直线OM，ON的斜率乘积为，由结论8知直线
AP，BP的斜率乘积也为，再结合条件不难获证．
证明：设直线OM，ON的方程为，，
联立方程组，解得，
同理可得，
所以
，
化简可得，
设，则，
又已知，所以要证，只要证明，
而，所以可得．

练习A
B
C
O
x
y
D

F1
F2
4(2013年山东省数学竞赛)已知椭圆的内接平行四边形的一组对边分别过
椭圆的焦点F1，F2，求该平行四边形面积的最大值．
解：设x轴的正半轴到F1A的角为，
则，（前已证）．
所以，
所以平行四边形的面积，
令，所以在上为增函数，所以面积的最大值为6.
练习5 已知圆O：，椭圆，过圆O上一点P作圆O的
切线l，设l交椭圆C于A，B两点，分别过A，B作椭圆的切线交于点Q，求动点
Q的轨迹方程．
P
O
x
y
Q
B
A
分析：注意到直线AB既是点P在圆O中对应的极线，又是
点Q在椭圆C中对应的极线，故对直线AB的方程算两次获解．
解：设，则
圆O在点P处的切线AB的方程为：①
同时，AB为点对应的极线，
所以其方程又为：②
比较①②，得，所以，
所以，
所以动点Q的轨迹方程为．