专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

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                    用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者特级教师文卫星 专题5  导数与不等式恒成立、有解（存在性）问题函数不等式恒成立问题或不等式有解（存在性）等问题相联系来命题是近年高考常见题型之一，涉及导数知识可能会含有参数讨论。恒成立问题常通过构造函数y=f(x)，转换为求y=f(x)在某个区间最值问题，这就需要确定y=f(x)导数的符号，为此，往往需要再次构造函数（以y=f(x)导函数中某个不能确定符号的代数式作为新构造函数的解析式），有时还需要分类讨论，分类讨论的标准一般用分析法求出，但解答时却用综合法书写（所以，不少情况下看不懂答案，即不知道分类标准怎么来的）。有解（存在性）问题常转化为不等式有解，先求出不等式两边两个函数的最值（值域），根据具体条件确定最值之间的大小关系（或确定值域的包含关系），据此不等式（组）求出相关变量的范围。如果含有双参数，可以把一个参数看作常数转化为一元变量求解。此类问题解答思维导图如下： 其一双参可视一常量构造函数明方向分类求导是难点综分结合最理想 其二有解不等恒成立一式转化看两边各自判断大和小相关方法要熟练     思路点拨第（1）求得，判断其符号有多种方法。第（2）直接构造关于的函数或参变分离正面求解的取值范围比较困难。因此通过对的赋值来缩小的范围，可以得到简洁的结果，求解比较容易，，解得。即可将问题可转化为：当时，对是否恒成立？                  满分解答(1)当时，，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2) （由于5种解法都给出太长，以下只给出一种解法，其余解法请见《挑战高考压轴题•高中数学》，华东师大出版社2020.9）由，得，当时，，等价于，令，则，设，，则，（i）当时，，则，记，则列表讨论： x  （） 1 （1，+∞） p′（x） ﹣ 0+ P（x） p（）单调递减 极小值p（1）单调递增  （ii）当时，，令，则，故在上单调递增，，由（i）得，，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有。综上所述，所求的a的取值范围是．注 “∀x，使得f(x)>g(x)”与“∃x，使得f(x)>g(x)”的辨析(1)∀x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)min＝[f(x)－g(x)]min>0.如图①.(2)∃x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)max＝[f(x)－g(x)]max>0.如图②.思路点拨    第（2）题作函数,只要在上的最小值小于0,对求导后判断单调性，根据单调性求最小值。满分解答（1）的定义域为所以，当时，，在上递减；当时，，所以，在上递增.（2）在上存在一点使成立，即函数在上的最小值小于0。因为，所以①当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为，由，得；②当，即时，，不合乎题意；③当，即时，的最小值为，所以故，此时不成立.综上所述，的取值范围是.注 (1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x0≥0时，总有f(x0)≥g(x0)，即f(x0)－g(x0)≥0(注意不是f(x)min≥g(x)max)，可以转化为当x≥0时，h(x)＝f(x)－g(x)≥0恒成立问题．(2)存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，即至少有一个x0≥0，满足f(x0)－g(x0)不是负数，可以转化为当x≥0时，h(x)＝f(x)－g(x)的函数值至少有一个是非负数．            思路点拨（1）直接可求；（2）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（1）．（2）当时，，解得．      当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．解 （1）.（2）当时，.因此.当时，将变形为.令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为.令，解得且，所以.（i）当时，在内无极值点，，，，所以.（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图象.由上图，我们得到如下结论当时，.综上，.（3）由（1）得.当时，；当时，，所以；当时，.所以；综上所述有.思路点拨第(2)问等价转化的基本思想是：函数g(x)的任意一个函数值都与函数f(x)的某两个函数值相等，即f(x)的值域都在g(x)的值域中．满分解答（1），时，，单调递增，时，，单调递减，，，，∴在上值域为.（2）由已知得，且，当时，，在上单调递增，不合题意．当时，，在上单调递减，不合题意．当时，得．当时，单调递减，当时，，单调递增，∴.由（1）知在上值域为，而，所以对任意，在区间上总有两个不同的，使得.当且仅当，即，由（1）得.设，，，当，，单调递减，∴.∴无解.综上，满足条件的不存在.注 “若，使得”与“，使得”的辨析(1) 使得等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2) ，使得等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A⊆B，如图④.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的值域都在函数y＝g(x)的值域之中．说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y轴上的投影． 思路点拨第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f(x)图象的最低点低于g(x)图象的最高点．因此题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.满分解答（1），  当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值．    当时，令，得,当时，，当时，。故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值（2）当时，假设存在，使得成立，则对，满足，由可得，.令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以。由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是． ①当，即时，函数在上单调递增，所以的最小值是．②当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是所以当时，在上的最小值是，，解得,所以．当时，函数在上的最小值是，故，解得，所以.故实数的取值范围是。注  f(x)，g(x)是闭区间D上的连续函数，“∀x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)”与“∃x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)”的辨析 (1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)，等价于f(x)min>g(x)max.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)，等价于f(x)max>g(x)min.其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图⑥.思路点拨第（1）题先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：第（2）题借助（1）的结论，当时，对恒成立， 再令，得到 即； 又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有.解 (1)令，则①若，则，，在递增，，即在 恒成立，满足，所以。      ②若，在递增，且且时，，则使，则在递减，在递增，所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去。综合①，②知的取值范围为.                      (2)由(1)知，当时，对恒成立。 令，则 即。    由(1)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有.注 解答本题的第一问时，先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当时，对恒成立，令，得到 即； 进而由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有.从而使得问题巧妙获证．