数学26.1 二次函数第3课时导学案

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第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
学习目标：
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
自主学习
一、知识链接
1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.
2.将抛物线y=x2向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 ;将抛物线y=x2向右平移2个单位得到抛物线的表达式为 .
思考：将抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移2个单位得到的抛物线有怎样的表达式？
图①
二、新知预习
1.在图①所示的坐标系中画出二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象.
2.结合图象，填空：
(1)抛物线y=(x-2)2-2的开口向__________，对称轴为______________，
顶点坐标为_____________；
(2)抛物线y=(x-2)2-2，当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小；
(3)抛物线y=(x-2)2-2的可看作由抛物线y=x2-2向____平移_______个单位得到，
也可以看作由抛物线y=(x-2)2向____平移_______个单位得到.
练习：.
1.抛物线y=2（x+1）2-2的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2
2.抛物线y=-3（x-1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（-1，-3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（1，3）
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
画一画 在图②所示的坐标系中画出二次函数的图象.
图②
问题1 说一说二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问题2 观察图象，当x满足什么条件时，y随x的增大而增大？
议一议 观察图①和图②，说一说二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质.
【要点归纳】二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例1 二次函数y＝﹣2(x-1)2﹣4，下列说法正确的是( )
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝-1
C．顶点坐标为(1，4)
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
【针对训练】已知抛物线y=（x+2）2-1．
（1）求它的顶点坐标和对称轴；
（2）在给出的坐标系中，画出函数y=（x+2）2-1的图象；
（3）结合图象回答：当x在什么范围时，y随x的增大而减小？
例2 如图，抛物线y=-（x-1）2+4与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．
（2）求△OCD的面积．
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
观察与思考
（1）观察图中画出的二次函数y=x2，y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象，填空：
(2)说一说如何由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-2)2-2？
【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系
上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变.
例3 将抛物线y=2x2向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y=2（x-4）2-1 B．y=2（x+4）2+1
C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2-1
【针对训练】将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1
C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4
二、课堂小结
当堂检测
1.二次函数y=-（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
向下，直线x=3，（3，2） B．向下，直线x=-3，（3，2）
C．向上，直线x=-3，（3，2） D．向下，直线x=-3，（-3，2）
2.已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象经过平移以后得到新的二次函数为y=2（x+1）2-1，则原图象经过了怎样的平移（ ）
A．向左平移2个单位；向下平移2个单位 B．向右平移2个单位；向下平移2个单位
C．向左平移2个单位；向下平移4个单位 D．向右平移2个单位；向上平移2个单位
3.已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标__________；
（2）对称轴为__________；
（3）当x=_______时，y有最大值是______；
（4）当_______时，y随着x的增大而减小．
4.已知二次函数y=+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=-；③其图象顶点坐标为；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有_______(填序号）.
已知二次函数y=-（x-1）2+1．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
若（x1，m），(x2，n)是抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则m____n(填“＞”“＜”或“＝”);
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A．
（1）求点M、A的坐标；
（2）连结AM、OM，求∠AOM的正切值．
参考答案
自主学习
知识链接
填表如下：
2.y=x2-2 y=（x-2）2
二、新知预习
1.解：二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象如图①所示.
图① 图②
2.（1）上 直线x=2 (2,-2) (2)x＞2 ＜2 （3）右 2 下 2 练习：1.B 2.D
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
画一画： 二次函数的图象如图②所示.
问题1 答：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,-2）.
问题2 答：当x＜-1时，y随x的增大而增大.
【典例精析】例1 D
【针对训练】解：（1）顶点坐标为（-2，-1），对称轴为直线x=-2.
画图略. （3）当x＜-2时，y随x的增大而减小.
例2 解：（1）由y= -（x-1）2+4，得顶点D的坐标为（1，4）.
（2）把x=0代入y= -（x-1）2+4得y=3，即OC=3，所以△OCD的面积为×3×1=．
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
观察与思考
（1）从上到下，从左到右，依次填写：右 2 下 2 下 2 右 2
（2）将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=(x-2)2-2；或将抛物线y=x2先向下平移2个单位，再向由平移2个单位可得到抛物线y=(x-2)2-2.
【典例精析】例3 B 【针对训练】C
课堂小结
上 直线x=h (h，k) ＞h ＜h 下 直线x=h (h，k) ＜h ＞h
当堂检测
D 2.C 3.（1）（-3,2） （2）直线x=-3 （3）-3 2 （4）x＞-3 4.①④
5.解：（1）函数图象如图所示；
(2)＜
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（-2，0），∴平移后图象所对应的函数关系式为：y=-（x+2）2．
6.解：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=（x-1）2-3，
∴顶点M（1，-3），令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，∴点A（0，-2）.
（2）∵M（1，-3），∴tan∠AOM=．
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=-x2
y=2x2+3
y= -(x+2)2
二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质
图象的特点
a>0
开口向_____，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小
a