初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用教案

1.5 三角函数的应用

教案

情景导入　《盘点1833年以来重大海难》

图1-5-1

2015年6月1日约21时30分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客454人,其中游客403人、旅行社随行工作人员5人、船员46人,12人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少,但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮、2008年菲律宾“群星公主号”客轮、2006年埃及“萨拉姆98号”客轮、2002年塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.同学们,怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢?本节课我们一起来探讨这个问题.

[说明与建议] 说明:通过盘点海难的文章与图片,对学生的认知产生冲击,使学生自然产生规避危险的想法,教师顺势引导学生开始新课的学习.建议:可以多准备些图片,帮助学生建立直观印象.

复习导入　师:谁能说一下,本章我们已经学习了哪些知识?

生1:第一节我们主要学习了三角函数的定义:

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,则有

sinA==;cosA==;tanA==.

生2:第二节我们主要学习了特殊角的三角函数值及其简单应用:

生3:第三节我们主要学习了利用计算器求任意角的三角函数值及其简单应用.

生4:第四节我们主要学习了解直角三角形及其简单应用.

师:嗯,这是我们前面学过的比较简单的三角函数的应用,那么对于比较复杂的有关三角函数的问题,我们应该怎么解呢?这就是我们今天重点探究的内容.本课除了要用到已经学过的倾斜角、仰角和俯角等知识外,我们还要理解方位角的概念.

生5:方位角就是地理中经常遇到的根据“上北下南左西右东”原则来划分的角.

[说明与建议] 说明:复习了上节课的重点知识,为本课的学习铺平了道路.进一步激发学生对数学学习的兴趣,对旧知识巩固以便更好地利用旧知识解决新问题.建议:可以让学生积极回顾,互相补充,为本节课的学习做好铺垫.

教材母题——教材第19页想一想

如图1-5-2所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)

图1-5-2

【模型建立】

在此类实际问题中往往存在两个直角三角形,它们有公共边,借助锐角三角函数的定义建立相关线段之间的关系式,将两个直角三角形的条件集中起来,通过方程模型解决问题.

【变式变形】

1.[黄石中考]如图1-5-3所示,无人机在空中C处测得地面A,B两点的俯角分别为60°,45°,如果无人机距地面AB的高度CD为100米,点A,D,B在同一水平直线上,那么A,B两点间的距离是　100(1+)米　. 

图1-5-3

2.[抚顺中考]如图1-5-4,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影A'的俯角∠A'NB为45°,则电视塔AB的高度为　100　米(结果保留根号). 

图1-5-4

3.如图1-5-5,甲、乙两座建筑物的水平距离为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC(结果取整数,参考数据:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60).

图1-5-5

 [答案:AB约为125 m,DC约为38 m]

　[命题角度1] 利用三角函数解决“双直角三角形”类型的问题

考查特点:“双直角三角形”类型,有同侧和异侧两种.解决方案:借助三角函数表示同一直线上的两条线段,然后利用线段和或差建立方程从而解决问题.

例　[益阳中考] “中国-益阳”网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图1-5-6,新大桥的两端位于A,B两点,小张为了测量A,B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下数据:∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82米.求AB的长(精确到0.1米).(参考数据:sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0;sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5)

图1-5-6

解:设AD=x米,则AC=(x+82)米.

在Rt△ABC中,tan∠BCA=,∴AB=AC·tan∠BCA≈2.5(x+82)米.

在Rt△ABD中,tan∠BDA=,∴AB=AD·tan∠BDA≈4x米.

∴2.5(x+82)=4x,

解得x=.∴AB≈4x=4×≈546.7(米).

答:AB的长约为546.7米.

[命题角度2] 利用三角函数解决坡度问题

解决坡度问题,关键是明确坡度是坡角的正切,利用坡度得到线段的比,运用设参法表示相关线段,结合其他已知条件建立方程,求得对应的线段长或者三角函数值.

例　[连云港中考] 如图1-5-7,水坝的横截面是梯形ABCD,∠ABC=37°,坝顶DC=3 m,背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)为1∶0.5,坝底AB=14 m,求坝高(结果保留整数).

图1-5-7

 [答案:约为6 m]

　　[命题角度3] 解直角三角形的应用——方位角问题

在解决有关方位角的问题时,首先应正确的画出方位角,并能用图中的线段或角来表示题目中所给的量,最后再结合三角函数来计算.这也体现了数学来源于生活,又服务于生活.作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

例　[邵阳中考] 一艘观光游船从港口A出发沿北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口A正东方向B处的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以每小时40海里的速度前往救援,求海警船到事故船C处所需的时间.(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)

图1-5-8

解:如图1-5-8,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.

在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,

∴CD=AC=40海里.

在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°-37°=53°,

∴BC=≈=50(海里),

∴海警船到事故船C处所需的时间大约为50÷40=(时).

习题答案　

P20随堂练习

1．如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m．在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？(结果精确到0.01 m)

解：在Rt△BCD中，tan∠CDB＝，DB＝5，∠CDB＝40°，

∴tan40°＝，

∴BC＝5tan40°≈4.1955≈4.20.

在Rt△BDE中，BE＝BC＋CE≈6.20，

∴ED＝≈＝≈7.96(m)．

答：钢缆ED的长度约为7.96 m.

2．如图，水库大坝的截面是四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m，坡底BC＝30 m，∠ADC＝135°.

(1)求∠ABC的大小；

(2)如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？(结果精确到0.01 m3)

解：如图，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E，F为垂足．

 (1)在四边形ABCD中，∠ADC＝135°，

∴∠FDC＝45°，EF＝AD＝6 m.

在Rt△FDC中，CD＝8 m，DF＝FC＝CD·sin45°＝4(m)．

∴BE＝BC－FC－EF＝30－4－6＝(24－4)(m)．

在Rt△AEB中，AE＝DF＝4(m). tan∠ABC＝＝＝≈0.308.

∴∠ABC≈17°7′8″.

(2)四边形ABCD的面积S＝(AD＋BC)·AE＝(6＋30)×4＝72(m2)．

而坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72≈101 82.34(m3)．

答：建筑这个大坝共需101 82.34 m3土石料．

P21习题1.6

1．如图，有一斜坡AB长40 m，坡顶离地面的高度为20 m，求此斜坡的倾斜角.

解：在Rt△ABC中，sinA＝，AB＝40 m，BC＝20 m,

∴sinA＝＝，∴∠A ＝30°.

答：此斜坡的倾斜角为30°.

2．有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°.向建筑物前进50 m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度(结果精确到0.1 m)．

解：如图，依题意，有∠A＝30°.∠CBD＝45°，AB＝50 m.

∵∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠CBD＝45°.∴DB＝DC.

设DC＝x，则AD＝50＋x.

在Rt△CDA中，tanA＝，

∴tan30°＝，∴＝，

解得x＝25＋25≈68.3.

答：建筑物的高度约为68.3 m.

3．如图，燕尾槽的横断面是一个四边形，其中AD∥BC，AB＝DC，燕尾角∠B＝55°，外口宽AD＝180 mm，燕尾槽深度是70 mm，求它的里口宽BC(结果精确到1 mm)．

解：约278 mm.

4．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B.货轮继续向北航行40 min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离(结果精确到0.01 海里)．

解：此时货轮与灯塔B的距离为33.94海里．

专题一解直角三角形的实际应用

1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）

A．9m       B．6m       C．m      D．m

2. （2014山东省德州市）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为

A．米  B．米   C．米   D．24米

3. （2013，安顺）小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮他计算出BE，CD的长度.（精确到个位，≈1.7）

4．（2012，南昌）如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架.如图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量:AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，OE=OF=34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF成一条线段，EF=32 cm.

（1）求证：AC∥BD；

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°，可使用科学计算器）

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122 cm，问挂在晒衣架后是否会脱落在地面？请通过计算说明理由．

5. （2012，绍兴）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°．

（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；

（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249．

6. (2012，随州) 在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°，游船向东航行100米后(B处)，测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°，60°.试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(，结果精确到米)

7.（2012，内江）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米.

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石多少立方米？

（2）求加固后大坝被水坡面DE的坡度.

8.（2012，乐山）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．

（1）求该轮船航行的速度；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：）

笔记：

【知识要点】解直角三角形及实际应用.

【温馨提示】在解直角三角形时，借助图形对题中的边与边、角与角和边与角的关系进行分析，从而确定未知的边、角的关系，选择合适的关系进行解答；利用三角函数知识解决实际问题的关键是要善于将千变万化的实际问题转化为数学问题，抽象出数学模型．

参考答案

1．B

2．B

3.解：由∠ABC＝120º可得∠EBC＝60º．在Rt△BCE中，CE＝51，∠EBC＝60º.因此tan60º＝，BE＝＝≈30.在矩形AECF中，由∠BAD＝45º，得∠ADF＝∠DAF＝45º，因此DF＝AF＝51.

∴FC＝AE＝34＋30＝64.∴CD＝FC－FD≈64－51＝13.

因此BE的长度约为30 cm，CD的长度约为13 cm．

4.解：（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，

∴∠OAC=∠OCA=（180°－∠AOC），∠OBD=∠ODB=（180°－∠BOD），

∴∠OAC=∠OBD，∴AC∥BD．

（2）作OM⊥EF于点M，∵OE=OF=34 cm，EF=32 cm，∴EM=16 cm. ∴cos∠OEF=≈0.471，用科学计算器求得∠OEF≈61.9°．

（3）小红的连衣裙会拖落在地面．理由如下：过点A作AH⊥BD于H. ∵OE=OF，OB=OD，∴∠OEF=∠OFE=

（180°－∠BOD），∠OBD=∠ODB=（180°－∠BOD），∴∠OEF=∠OBD，∴EF∥BD，∴∠OEM=∠ABH，又∵cos∠OEF=，∴cos∠ABH=，即，∴BH=AB=×136=64.由勾股定理，可得AH=．∵小红的连衣裙挂在衣架后总长度122 cm＞晒衣架高度120 cm，∴小红的连衣裙会拖落在地面．

5.解：（1）∵sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74(米)．

（2）∵tan32°=，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225．

∵10秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为20×0.156225≈3.12(米)．

6.解：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意得

有(米),

=50(+1)=50(3+)=50(3+1.732)=236.6≈237(米)

答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米.

7.解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于H，∴AG=DH，在Rt△ABG中，AG =sin60°×AB=.

∴DH=，∴S△DCE.

∴需要填土石方(m3)

（2）在Rt△DHC中，.

∴HE=HC+CE=24+8=32，∴加固后大坝背水坡面DE的坡度=.

8.解：（1）过点A作AC⊥OB于点C .如图，由题意，得OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30 º.∴（千米）.∵在Rt△AOC中，CO=OA·cos∠AOC ==30（千米）.∴BC=OC-OB=30-20=10（千米）.  ∴在Rt△ABC中，=20（千米）. ∴轮船航行的速度为（千米／时）. 

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．

理由:延长AB交l于点D.∵AB＝OB＝20（千米），∠AOC＝30º.∴∠OAB＝∠AOC＝30º，∴∠OBD＝∠OAB＋∠AOC＝60 º.∴在Rt△BOD中，OD=OB·tan∠OBD=20×tan60 º =（千米）. ∵＞30＋1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．

较，如果BD＞200（海里），则不会受到台风的影响，否则会.（2）以B为圆心，200（海里）为半径画圆，交AC于E，连接BE,BF,先由勾股定理求得DE,AD,从而求得AE,再根据题意求得该货船卸完货物所需的时间.

解：（1）过B点作BD⊥ AC, 垂足为D,

由题意可知∠BAC=,

在Rt△ABD中,BD=AB=（海里）,∴B处会受到台风的影响.

（2）以点B为圆心，200（海里）为半径画圆，交AC于E、F,连接BE、BF,

由勾股定理得DE=100（海里），AD=（海里），∵AE=AD-DE=-120（海里），

∴（小时）,

即该船应在3.8小时内卸完货物.

三、堤坝工程问题

例3:如图3，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝底宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1:2变成i’=1:1.25.（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD的长为多少？

分析:本题主要考查坡度(坡角)的问题,解答本题的关键是构造直角三角形,要求HD的长,可以先分别求出HN、HF、FD的长.

解析：∵BC=3.2(m)

∴加高后MN=EF=5.2(m)，ME=NF=6(m)

在Rt△HMN和Rt△DEF中

，

∴HN=2.5MN=13(m)

DF=2EF=10.4(m)   

∴HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m) .

答：加高后的坝底HD的长为29.4m.

说明:把所学的知识应用于现实世界中，解决一些生活实践问题，这是新课标的指导思想，着重凸现运用知识解决现实生活中新的问题，这正是中考所要考查的学生的创新能力.