2020-2021学年1 锐角三角函数教案

课题

第2课时　正弦和余弦

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.

数学思考

　　能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,表示生活中物体的倾斜程度,能够用正弦、余弦进行简单的计算.

问题解决

　　1.能用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比;

2.能根据直角三角形的边角关系,进行简单的计算.

情感态度

　　体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

教学

重点

　　根据直角三角形的边角关系,进行简单的计算.

教学

难点

　　了解互余两角的三角函数关系以及同角的三角函数关系,会进行综合计算.

教具

多媒体课件

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

　　提问1:通过上节课的学习,你有几种方法来刻画梯子的倾斜程度?

(有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画,倾斜角越大,梯子越陡;二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画,正切值越大,梯子越陡.)

提问2:在上一节课我们得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比也随之确定的结论,也就是说这一比值只与倾斜角的大小有关,与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?

　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

1.上节课,我们研究了“陡”这个字,明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶、梯脚到墙角的距离比有关的.如图1-1-31,研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画,倾斜角越大,梯子越陡;二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画,正切值越大,梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?下面请同学们模拟试验,探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢?

图1-1-31

2.我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系——正切,即:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA.当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其他边之间的比值也确定吗?

　　思维往往是从人的动作、活动参与开始的,而动手操作及量一量活动,最易激发学生的想象、思维和发现.在量一量活动中增强自己的感性认识与经验,进而上升到理性观察、思考与推理论证.

引导学生从生活中发现问题、思考问题.

活动

二:

实践

探究

交流

新知

上节课,我们研究了测量梯子倾斜程度的方法,如图1-1-32,在小明家的墙角处放有一架较长的梯子,墙很高,又没有足够长的尺子来测量,我们可以用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度:在梯子上任选一点B2,通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;也可以通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.那么在这里,我们能否类似地研究梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比对梯子倾斜程度的影响呢?

(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

(2)和有什么关系?和有什么关系?

(3)如果改变梯子的位置呢?由此你得出什么结论?

图1-1-32

正弦、余弦的概念:

图1-1-33

如图1-1-33,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.

∠A的对边与斜边的比,叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=.

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.

注意的问题:

(1)sinA,cosA中常省去角的符号“∠”;

(2)sinA,cosA没有单位,它们都表示一个比值;

(3)sinA,cosA是一个完整的符号,不表示“sin”“cos”乘“A”;

(4)在初中阶段,sinA,cosA中,∠A是一个锐角;

(5)0<sinA<1,0<cosA<1(∠A是锐角).

梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系:

师:我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系:tanA的值越大,梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA,cosA有关系呢?如果有关系,是怎样的关系?

图1-1-34

生:如图1-1-34所示,AB=A1B1,

在Rt△ABC中,sinA=,

　　在Rt△A1B1C中,sin∠B1A1C=.

因为<,

即sinA<sin∠B1A1C,而梯子A1B1比梯子AB陡,

所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

因为cosA=,cos∠B1A1C=,且AB=A1B1,所以>,即cosA>cos∠B1A1C,

所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小,梯子越陡.

归纳:正弦越大,角越大,梯子越陡;余弦越小,角越大,梯子越陡.

　　在学生学习完正切后,教师引导学生进行类比学习,得出正弦和余弦的定义及注意事项,同时初步体会直角三角形的对边与斜边的比,邻边与斜边的比都是倾斜角的函数.

学生归纳出正弦和余弦的定义及其注意事项,进一步加深对锐角三角函数的理解,特别是对“锐角定三角函数值定,三角函数值定锐角定”的理解.

活动

三:

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1　如图1-1-35,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.

图1-1-35

 [答案:BC=120]

例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.

(1)求sinA和cosB的值;

(2)求sinB和cosA的值;

(3)由(1)(2)你有什么发现?你能证明自己的发现吗?

例3　如图1-1-36,在Rt△ABC中,∠C=90°,求证:=tanA.

图1-1-36

 [答案:证明略]

　　通过例题训练学生对于正弦、余弦定义的理解与掌握,既有基本应用,又有反思讨论,螺旋式上升.

【拓展提升】

例4　如图1-1-37,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=10.求:

(1)AB的长;

(2)sinB,cosB,sinA的值.

图1-1-37

解:(1)AB===10×=.

(2)∵BC==,

∴sinB===,

cosB====,sinA==.

例5　如图1-1-38,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,求证:BC2=AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

证明:在Rt△ABC中,cosB=.

图1-1-38

又∵CD⊥AB,

∴在Rt△CDB中,cosB=,

∴=,即BC2=AB·BD.

　　通过题目的训练,使学生对本节课所学知识进行整合,实现规范化的应用,使学生的学习思路清晰有序,培养学生的分析能力.

活动

四:

课堂

总结

反思

【当堂训练】

课本P6随堂练习

　　当堂检测,及时反馈学习效果.

【板书设计】

　　提纲挈领,重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

通过复习正切的有关知识,引导学生进行类比学习,完成本节课的学习任务.在探究正弦和余弦的定义时,学生的学习激情很高,能类比正切的相关知识,对正弦和余弦的注意事项做出合理的解释,顺理成章地判断出一个锐角的正弦、余弦也是它的函数,从而掌握锐角三角函数的定义.

②[讲授效果反思]

教学中鼓励学生大胆探索,学生能借助直角三角形的直角边小于斜边和正弦、余弦的定义得出正余弦的取值范围,这是学生对定义理解到位的直接表现.在应用正弦、余弦的知识解决问题时,学生时刻不忘数形结合,解题思路清晰,令我感到本节课很成功.但是,由于本节课主要是把时间放给学生,同时还想兼顾全体学生,所以在处理个别问题时耽误了些时间,造成本节课的时间有点紧张.

③[师生互动反思] 

④[习题反思]

好题题号　　　　　　　　　　　　　 

错题题号　　　　　　　　　　　　　 

　　反思,更进一步提升.