人教A版 数学 必修 第一册 第二章一元二次函数、方程和不等式试卷及答案 6

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一元二次函数、方程和不等式测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（　　）A．①② B．①③ C．①④ D．②③2．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）3．若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（　　）A．4 B．4 C．9 D．94．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）A． B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0） C． D．（a＞b＞0）5．设，，，则的最小值为（   ）A． B． C． D．6．已知，则的最小值为（    ）.A．9 B． C．5 D．7．若，，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．8．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．10 B．11 C．13 D．21二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：(    )A． B．C． D．10．如果，那么下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)A．a>0 B．b>0C．c>0 D．a＋b＋c>012．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　)A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。13．命题“∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定为________________．14．已知12<a<60，15<b＜36，则a－b的取值范围为________，的取值范围为________．15．若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　．16．若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10 分)（1）已知，求的最小值．并求此时的值；（2）设，求函数的最大值；（3）已知，求的最小值；（4）已知，，且，求的最小值；18．(12 分)已知，都是正数.求证：；19．(12 分)日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.20. (12 分) (1) 比较 与 的大小;
(2)求关于 的不等式 的解集.
21. (12 分)某厂经调查测算, 某种商品 原来每件售价为 25 元, 年销售量 8 万件.
(1)据市场调查, 若价格每提高1元, 销售量将相应减少 2000 件, 要使销售的总收入不 低于原收入, 该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力, 提高年销售量, 公司决定明年对该商品进行全面技术革 新和营销策略改革, 并将定价提高到 元. 公司拟投入 万元作为技改费用, 投入50万元作为固定宣传费用, 投入 万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品明年的销 售量 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求 出此时商品的每件定价.

22. (12 分) 设 .
(1)若不等式 对一切实数 恒成立, 求实数 的取值范围;
(2)解关于 的不等式 .
                  参考答案1解析：根据 0，不妨取a＝2，b＝3，则②④不成立，故ACD不正确．故选：B．2解析：由基本不等式可得，若4x+4y＝1，有1＝4x+4y≥22，即4x+y4﹣1，根据指数函数y＝4x是单调递增函数可得，x+y≤﹣1，故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．3解析：由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1，又因为a＞0，b＞0，所以（）（2a+b）＝55+4＝9，当且仅当且2a+b＝1即a，b时取等号，此时取得最小值9．故选：C．4解析：由图形可知：OF，OC，在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF，∵CF≥OF，∴，（a，b＞0）．故选：D．5解析：∵，．所以 当且仅当即时取等号，∴的最小值为9．6解析：.，且，，当且仅当，即时，取得最小值2.的最小值为.故选B.7解析：，设 原式 当即时有最大值为故答案选C8解析：正实数满足，则，，即：，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为11.故选：B.9解析：由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC10解析：A. ，故错误；B. ，当时，，故错误；C. ，故正确；D. ，，故正确.故选CD.11解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.12解析：由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0.从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．13解析：∃k>0，方程x2＋x－k＝0没有实根14解析：由15<b<36得－36<－b<－15.又因为12<a<60，所以－24<a－b<45.由15<b<36得.又因为12<a<60，所以15解析：∵正数a，b满足a+b＝1，∴（3a+2）+（3b+2）＝7．∴，当且仅当a＝b时取等号．∴的最小值为．16解析：命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则命题“∀x∈R，使得x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题．故4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.17解析：（1）因为，所以，当且仅当，即时取等号；故当时，取得最小值；（2），．．当且仅当，即时，等号成立．，函数的最大值为．（3），，当且仅当时取等号，即时，的最小值为，（4），，，．当且仅当时，上式等号成立，又，，时，．18解析：证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；证明：由基本不等式可知，（当且仅当时取得等号）.19解析：由题知：原来糖水的浓度为，加入克糖后的浓度为，，.因为这杯糖水变甜了，所以，整理得：，，.因为，又因为，，所以，，，所以，即证.20解析： (1) ,
因为 , 所以 ,
即 .
(2) .
当 , 即 时, 解原不等式, 可得 ；
当 , 即 时, 解原不等式, 可得 ；
当 , 即 时, 解原不等式, 可得 .
综上所述, 当 时, 原不等式的解集为 ；
当 时, 原不等式的解集为 ：当 时, 原不等式的解集为 .21解析：(1)设每件定价为 元,
依题意得 ,
整理得 , 解得 .
所以要使销售的总收入不低于原收入, 每件定价最多为 40 元.(2)依题意知当 时, 不等式 成立等价于 时, 有解, 由于 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 .
故当该商品改革后销售量 至少达到 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于 原收入与总投入之和, 此时该商品的每件定价为 30 元.22解析：(1) 对一切实数 恒成立, ,
恒成立.
当 时, , 不符合题意;当 时, 则有
解得 .
综上所述, 实数 的取值范围是 ;
(2) ,
,.
当 时, , 解得 ,
原不等式的解集为 ；
当 时, 原不等式可化为 .
当 时, , 原不等式同解于 ,
原不等式的解集为 ;
当 时, 原不等式同解于 ,
若 , 则 , 原不等式的解集为 戓 ;
若 , 则 ,
原不等式的解集为 ;
若 , 则 ,
原不等式的解集为 , 或 .
综上所述, 当 时, 原不等式的解集为 ;
当 时, 原不等式的解集为 ;
当 时, 原不等式的解集为 , 或 ;