湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期第一次月考数学试题及参考答案

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（ ）
A. 4个B. 6个C. 8个D. 无数个
2. 设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. －D.
5. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A. 1B. C. D. －1
7. 的值是（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
8. 已知函数是定义在上奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（ ）
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的估计值增加速度变快
C. 去除后与去除前均值，不变
D. 去除后的回归方程为
10. 如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）
A. 事件A1，A2互斥事件
B. 事件A1，A2独立事件
C. P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D. P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
11. 在正四面体中，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 该四面体外接球的表面积为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 如果点在上，则的最小值为
D. 过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数（），（），（为自然对数的底数），则（ ）
A. 在内单调递增
B. 和间存在“隔离直线”，且的取值范围是
C. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
D. 和之间存在唯一的“隔离直线”
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
14. 某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有_______．
15. _____.
16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知，，，
(1)求和的值；
(2)求值．
18. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
19. 已知函数（），且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若对于任意的，都有，求的最小值.
20. 某学校共有2000名学生，其中女生1200人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在550～1050元之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于850元的学生称为“高消费群”．
（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）若样本中属于“高消费群”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．
（，其中n＝a＋b＋c＋d）
21. 在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点E满足．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的余弦值．
22. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（2）对任意，，求实数的取值范围．1
2
3
4
5
6
7
8
9
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男
女
合计
P（）
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828