2022-2023学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，   下列四个图形中，为中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D.    将抛物线向左平移个单位，得到新抛物线的函数关系式是(    )A.  B.  C.  D.    在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    )A.  B.  C.  D.    用配方法解方程，变形后结果正确的是(    )A.  B.  C.  D.    把长为的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为，依题意，可列方程为(    )A.  B.  C.  D.    已知函数的图象如图所示，则函数的图象是(    )A.
B.
C.
D.    已知二次函数和一次函数的图象如图所示，下面有四个推断：
二次函数有最大值
二次函数的图象关于直线对称
当时，二次函数的值大于
过动点且垂直于轴的直线与，的图象的交点分别为，，当点位于点上方时，的取值范围是或．
其中正确的是(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）   抛物线的顶点坐标是          ．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式：          ．若点，在抛物线．上，则，的大小关系为：______选填“”“或“”若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为          ．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数为          ．
 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，直线，则的解集为______．
 如图，正方形的边在轴上，，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为______．
  三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）解方程：． 四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：．本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点．
求该抛物线的表达式；
将该抛物线向______平移______个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．本小题分
年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心月份的参观人数为万人，月份的参观人数增加到万人．求参观人数的月平均增长率．本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，关于原点对称的图形是．
画出；
与的位置关系是______，的长为______；
若点是一边上的任意一点，则点经过上述变换后的对应点的坐标可表示为______．
本小题分
如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
依题意补全图形；
若，求线段的长．
本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．本小题分
小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值．求该二次函数的表达式；
该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出的取值范围．本小题分
如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为时，桥洞与水面的最大距离是．
求抛物线的表达式；
因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度．
本小题分
有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
函数的自变量的取值范围是______；
下表是与的几组对应值：则的值为______；
如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

观察图象，写出该函数的一条性质______；
若函数的图象上有三个点、、，且，则、、之间的大小关系为______．本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．
求抛物线的表达式及点的坐标；
当时的函数图象记为，求此时函数的取值范围；
在的条件下，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象若经过点的直线与图象在第三象限内有两个公共点，结合图象求的取值范围．本小题分
如图，在中，，，延长，并将射线绕点逆时针旋转得到射线，为射线上一动点，点在线段的延长线上，且，连接，过点作于．
依题意补全图，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
取的中点，连接，添加一个条件：的长为______，使得成立，并证明．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是，，，
故选：．
根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得出结果．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 2.【答案】 【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 3.【答案】 【解析】解：将抛物线向左平移个单位，得到新抛物线的函数关系式是：．
故选：．
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：点，
点关于原点对称的点为，
故选：．
两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数，由此可求点关于原点对称的点的坐标．
本题考查关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
则，即，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：较长一段的长为，
较短一段的长为，
依题意得：．
故选：．
由题意设较长一段的长为，可得出较短一段的长为，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
函数的图象经过第二四象限且与轴正半轴相交，
故选：．
根据抛物线开口向下确定出，再根据对称轴确定出，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据抛物线的开口方向与对称轴确定出、的正负情况是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
根据函数的图象即可得到结论．
【解答】
解：二次函数的图象的开口向上，
二次函数有最小值，故错误；
观察函数图象可知二次函数的图象关于直线对称，故正确；
当时，二次函数的值小于，故错误；
当或时，抛物线在直线的上方，
的取值范围为：或，故正确．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：是抛物线的顶点式解析式，
顶点坐标为．
故答案为；．
直接根据顶点式解析式的特点求顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式解析式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
 10.【答案】 【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 11.【答案】答案不唯一 【解析】解：抛物线的开口向上，
，
又抛物线与轴交于点，
，
所以抛物线的表达式为，
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质，所写出的函数解析式是正数，即可．
本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
 12.【答案】 【解析】解：将，代入得，，
．
故答案为：．
将点，坐标代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 13.【答案】 【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
利用根的判别式进行计算，根据题意关于的方程有两个不相等的实数根，可得，即可得到关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
一元二次方程根的情况与判别式的关系是：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 14.【答案】 【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，
在中，，，

       
       ，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：由图象可得，抛物线的对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，当时，，
直线经过点和点，
如图画出直线的图象和补全抛物线图象，

由图象可得，直线在抛物线下方的图象部分为．
的解集为．
故答案为：．
首先确定抛物线和轴的另一个交点，然后画出直线的图象，然后根据直线在抛物线下方的图象部分求解即可．
本题考查了一次函数与二次函数的图象综合问题，解题的关键是根据题意正确画出一次函数和二次函数的图象．
 16.【答案】或 【解析】解：连接、交于点，作交于点，
由题意得，抛物线必经过点，
，，
，，
正方形，
，，，
，
，
，
解得或．
故答案为：或．
到、、、四个点距离都相等的点为、的交点点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，确定出到、、、四个点距离相等的点的位置是解题的关键．
 17.【答案】解：  ，

或，
解得，． 【解析】先把方程左边因式分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程的方法，答案采用因式分解法，先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想当然，本题还可以使用其它解方程的方法求解．
 18.【答案】解：方程化为，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，． 【解析】将一元二次方程整理成一般形式，然后利用公式法解方程．
本题考查公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．
 19.【答案】上   【解析】解：抛物线的顶点为，
设抛物线表达式为，
经过点，
．
解得：．
该抛物线的表达式为；
抛物线的顶点为，且抛物线开口向上，
若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移个单位，顶点变为，此时满足题意．
故答案为：上，．
首先设出抛物线表达式为，然后将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式；
利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
 20.【答案】解：设参观人数的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：参观人数的月平均增长率为． 【解析】设参观人数的月平均增长率为，利用月份的参观人数月份的参观人数参观人数的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 21.【答案】平行     【解析】解：根据题意画出，如图所示；
由题意得：，；
利用中心对称图形性质得：点经过上述变换后的对应点的坐标为．
故答案为：平行，；
画出关于原点对称的图形即可；
利用中心对称的性质得到与的位置关系，利用两点间的距离公式求出的长即可；
利用中心对称图形的性质确定出的坐标即可．
此题考查了作图旋转变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．
 22.【答案】 解：如图，即为补全的图形；

在中，，
，，
，
，
由旋转可知：，，
为等边三角形，
，，
，
．  【解析】本题考查了作图旋转变换，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．
根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；
根据含度角的直角三角形和旋转的性质可得，，再利用勾股定理即可解决问题．
 23.【答案】证明：，，，
，
原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
解：设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，依题意得：
，，，
，
即，
，
               ，
               ，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
，
． 【解析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是对根与系数关系的掌握并灵活运用．
利用根的判别式进行求解即可；
设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，则有，，，从而可进行求解．
 24.【答案】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得，
该二次函数的表达式为或；
的取值范围是． 【解析】根据待定系数法即可求得；
令，
整理得，
设点、的横坐标为，，
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，即，
，
的取值范围是．
把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
 25.【答案】解：如图：

以水面为轴、桥洞的顶点所在直线为轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得，，
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
所以抛物线解析式为：，
当时，，
所以当水面宽度变为，则水面上涨的高度为 【解析】先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式；
根据题意将代入求解即可．
本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键．
 26.【答案】解：；
；
如图所示即为所求：

当时，随的增大而减小答案不唯一；
  ． 【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
依据函数表达式中分母不等于，即可得到自变量的取值范围；
把代入函数解析式，即可得到的值；
依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
依据函数图象，即可得到函数的增减性；
依据函数图象，即可得到当时，；当时，．
【解答】
解：根据题意，得
，
．
故答案为：；
当时，，
的值为．
故答案为：；
见答案；
由图象可得，当时，随的增大而减小答案不唯一．
故答案为：当时，随的增大而减小答案不唯一；
由图象可得，当时，；当时，．
、、之间的大小关系为．
故答案为：．  27.【答案】解：将代入，得．
抛物线的表达式为 
点的坐标 

．
当时，随增大而减小；
当时，随增大而增大，
当，．
当，．
的取值范围是．

当直线经过和点时，
解析式为．
当直线经过和点时，
解析式为．
结合图象可得，的取值范围是． 【解析】把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值；
根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；
根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．
 28.【答案】解：图形如图所示，结论：．
理由：连接，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

当时，成立．
理由：过点作于点，交的延长线于点，则四边形是正方形．
，，
，
，
，
，，
，
，

在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据要求作出图形即可．结论：证明，推出，可得结论；
当时，成立．过点作于点，交的延长线于点，则四边形是正方形．根据全等三角形的性质以及勾股定理，分别求出，，即可判断．