2022-2023学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根

3.    用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若是关于的方程的一个解，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知、是一元二次方程的两个实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列关于抛物线的说法，正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 有最小值

7.    把二次函数的图象向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 方程的解是______．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13. 二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．

15. 如图，已知二次函数图象过点，顶点为，下列结论：
    ；
    时，函数最大值是；
    ；
    ；
    ．
    其中正确的结论是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    已知二次函数的图象与轴交于，，函数的最大值为．
    求这个二次函数的对称轴；
    求这个二次函数的解析式．
18. 本小题分
    第届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，共有多少个队参加比赛？
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
    求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
20. 本小题分
    如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
    喷头离地面的高度是多少？
    水流喷出的最大高度是多少？
    若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？

21. 本小题分
    某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元．每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
    
    若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
    经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件，那么每天要想获得元的利润，每件应降价多少元？
22. 本小题分
    如图，有长为米的篱笆，一面利用长为的墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边为，面积为．
    求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
    能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，如果不能，请说明理由．

23. 本小题分
    如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，与轴交于、两点点在点的右侧，点是抛物线上的一动点，从点沿抛物线向点运动点与不重合，过点作轴，交于点 ．
    求该抛物线的函数关系式及、两点的坐标；
    求点在运动的过程中，线段的最大值；
    若点与点重合，点在轴上，点在抛物线上，问是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，时是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是关于的一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
原方程没有实数根，
故选：．
根据根的判别式，可知一元二次方程根的情况．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
即，
所以．
故选：．
根据一元二次方程解的定义，把代入一元二次方程得，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得到，，再把转化成含和的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向上；对称轴为直线；顶点坐标为；当时取得最小值；
故选：．
直接利用二次函数的顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到：．
故选：．
利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，随增大而增大．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，
当时，，解得，，
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为．
故选：．
先把代入求出，得到抛物线解析式为，然后解方程得到抛物线与轴的另一个交点的坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知：，，，
二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴．
故选：．
根据二次函数与一次函数的图象，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
 

11.【答案】和 

【解析】解：
，
解得：，．
故答案为：和．
直接利用十字相乘法分解因式得出方程的解．
此题主要考查了一元二次方程的解法，正确分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．熟记这些内容是解题关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：由函数图象可得，
抛物线开口向上，与轴的交点为和，
关于的不等式的解集为：或．
故答案为：或．
通过函数图象和二次函数与一元二次不等式的关系直接写出结论．
本题考查二次函数与不等式的应用，关键是数形结合的思想方法在问题中的应用．
 

14.【答案】， 

【解析】解：因为抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
所以关于的方程的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为、．
根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．
本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：对称轴在轴的右侧，则、异号，所以；
由抛物线与轴的交点位于轴的正半轴，则，
所以，
故错误；

抛物线的开口方向向下，顶点为，
时，函数的最大值是，
故正确；

抛物线的开口方向向下，过点，对称轴为直线，
点关于直线对称，
时，，
，
故正确；

抛物线的对称轴为直线，
，
故正确；

抛物线过点，
，
而，
，
，
故错误．
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

17.【答案】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线．
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
． 

【解析】由抛物线的对称性及抛物线与轴的交点坐标求解．
设抛物线为顶点式，将或代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握待定系数法求函数解析式．
 

18.【答案】解：设共有个队参加比赛，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：共有个队参加比赛． 

【解析】设共有个队参加比赛，利用比赛的总场数参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，，
即方程的另一根为；

证明：，，，
，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 

【解析】把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根；
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根．
本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：当时，，
喷头离地面的高度为米；
，
，
当时，最大，最大值为，
水流喷出的最大高度是米；
令，则，
解得或舍去，
水池的半径至少为，才能使喷出的水流不落在池外． 

【解析】令二次函数解析式中的即可求解；
求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离；
令，则可以求水池的半径．
本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

21.【答案】解：设每次降价的百分率为，
由题意得
，
解得：或不符合题意，舍去．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；
设每天要想获得元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，
由题意得：

解得：．
答：要使商场每天要想获得元的利润，每件应降价元． 

【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，这种价格问题主要解决价格变化前后的关系，列出方程，解答即可．
设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
设每天要想获得元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
 

22.【答案】解：由题可知，花圃的宽为米，则为米
这时面积．

由条件化为
解得，
得
不合题意，舍去
即花圃的宽为米．


当时，有最大值
故能围成面积比米更大的花圃．围法：，花圃的长为米，宽为米，这时有最大面积平方米． 

【解析】可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式．
根据的函数关系式，将代入其中，求出的值即可．
可根据中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案．
本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点为，
抛物线的函数关系式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的函数关系式为，即．
当时，有，即，
解得：，，
又抛物线与轴交于，两点点在点的右侧，
点的坐标为，点的坐标为．
设直线的函数关系式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的函数关系式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，取得最大值，最大值为．
分两种情况考虑：
以为边构造平行四边形，平移直线交轴于点，交抛物线于点，
点的坐标为，
设点的坐标为，
，解得：，，
点的坐标为和；
以为对角线进行构造平行四边形，
点，的纵坐标为，
点的纵坐标为，此时点，重合，
不存在这种情况，舍去．
综上所述，符合条件的点有两个，即和． 

【解析】由抛物线的顶点坐标，可得出抛物线的顶点式，代入点的坐标可求出的值，进而可得出抛物线的函数关系式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标；
由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数关系式，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
分为边及为对角线两种情况考虑：以为边构造平行四边形，平移直线交轴于点，交抛物线于点，由点的坐标可设点的坐标为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标；以为对角线进行构造平行四边形，由点，的纵坐标为，可得出点的纵坐标为，此时点，重合，进而可得出不存在这种情况，舍去．综上，此题得解．
本题考查了二次函数的三种形式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式；由点，的坐标，找出；分为边及为对角线两种情况找出点的坐标．