还剩14页未读，
继续阅读
_广东省 中山市中山一中教育集团2022-2023学年九年级上学期数学期中测试(含答案)
展开
这是一份_广东省 中山市中山一中教育集团2022-2023学年九年级上学期数学期中测试(含答案)，共17页。试卷主要包含了抛物线y＝，已知二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝3
2．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
3．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
4．把抛物线y＝x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2-3B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣3D．y＝（x-3）2+3
5．将方程x2+8x+9＝0左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A．（x+4）2＝25B．（x+4）2＝7C．（x+4）2＝﹣9D．（x+4）2＝﹣7
6．抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线（ ）
A．x＝-2B．x＝2C．x＝4D．x＝﹣4
7．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）＝15B．
C．x（x﹣1）＝15D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A．A（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（0.5，0.5）
9．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3D．有最小值﹣1，无最大值
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④若（﹣3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．②④D．①③④
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的正实根，则k的取值范围为 ．
12．关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
13．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： ．
14．若点M（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是________。
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则CP的长为 ．
三．解答题(一)（共3小题，每小题8分，共24分）
16．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，求此等腰三角形的周长．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
18．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 ；
（3）当﹣1＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
四．解答题(二)（共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于点M（x，y）中心对称，则x＝，y＝．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
（1）已知由点O（0，0），A（1，0），B（0，1）构成的三角形，若△OAB与△O′A′B′关于点P（2，2）成中心对称，请直接写出点O′，A′，B′的坐标；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y＝x+m恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求m的值．
21．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
五．解答题(三)（共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ ；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，已知矩形ABCD的宽AD＝8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN＝90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．
（1）求证：∠MPF＝∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF＝NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC＝30°时，设EP＝x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年中山一中教育集团九年级上学期数学期中测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝3
【解答】解：x2﹣3x＝0，x（ x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3．故选：D．
2．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：由y＝（x+1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
故选：D．
3．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
【解答】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
4．把抛物线y＝x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2-3B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣3D．y＝（x-3）2+3
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（3，3），又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+3．故选：D．
5．将方程x2+8x+9＝0左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+4）2＝﹣7
【解答】解：∵x2+8x+9＝0∴x2+8x＝﹣9
∴x2+8x+16＝﹣9+16∴（x+4）2＝7故选：A．
6．抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线x＝2，故选：A．
7．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）＝15B．
C．x（x﹣1）＝15D．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，即 ＝15．故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A．A（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（0.5，0.5）
【解答】解：如图，点Q即为所求，Q（1，﹣1）．
故选：C．
9．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3D．有最小值﹣1，无最大值
【解答】解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3．故选：C．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④若（﹣3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．②④D．①③④
【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，结论③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（﹣3）＞4﹣1，
∴y1＜y2，结论④正确；
综上所述：正确的结论有②③④，故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的正实根，则k的取值范围为 k≤1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，解之得k≤1．故答案是：k≤1．
12．关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 2 ．
【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2，解得：m＝2，故答案为：2．
13．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： y＝﹣x2﹣1 ．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
14．若点A（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，则m的取值为（ ）
【解答】解：∵点A（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点A在第二象限，∴2m﹣1>0，解得：m>，
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则CP的长为 4- ．
【解答】解：把A（﹣2，4）代入y＝ax2得4a＝4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（﹣2，4），AB⊥x轴，
∴AB＝4，OB＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴OD＝OB＝2，∠ODC＝∠OBA＝90°，
∴D点坐标为（0，2），CD⊥y轴，
∴P点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝x2得x2＝2，解得x＝±（负值舍去），
∴P点坐标为（，2），
∴PD＝．CP=4-
故答案为：CP=4-．
三．解答题(一)（共3小题，每小题8分，共24分）
16．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，求此等腰三角形的周长．
【解答】解：,x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
点C2的坐标为（﹣4，﹣2）．
18．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ；
（3）当﹣1＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知：该抛物线经过点（﹣1，0），（2，0），
故设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
把（0，2）代入，得a（0+1）（0﹣2）＝2
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2）或y＝﹣x2+x+2；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴下方的有两部分，对应的y＜0，此时x＜﹣1或x＞2，
故答案为：x＜﹣1或x＞2；
（3）由y＝﹣x2+x+2知，y＝﹣（x﹣）2+．
故该抛物线的顶点坐标是（，）．
所以当﹣1＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤．
四．解答题(二)（共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把x＝﹣1代入方程x2﹣mx+m﹣2＝0得1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝，
则原方程为x2﹣x﹣＝0，
解得：x＝﹣1，或x＝．
因此方程的另一个根为．
（2）证明：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴该方程都有两个不相等的实数根．
20．在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于点M（x，y）中心对称，则x＝，y＝．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
（1）已知由点O（0，0），A（1，0），B（0，1）构成的三角形，若△OAB与△O′A′B′关于点P（2，2）成中心对称，请直接写出点O′，A′，B′的坐标；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y＝x+m恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意，可得点O′的坐标为（2×2﹣0，2×2﹣0），即（4，4），
点A′的坐标为（2×2﹣1，2×2﹣0），即（3，4），
点B′的坐标为（2×2﹣0，2×2﹣1），即（4，3）；
作图如下：
（2）连接OB，如图所示．
则OB的中点坐标为（，3），
根据矩形是中心对称图形可知，
点（，3）必在直线y＝x+m上，
∴3＝×+m
解得m＝．
21．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
w与x之间的函数关系式为：w＝y （x﹣60）
＝（﹣20x+1800）（x﹣60）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）令﹣20x2+3000x﹣108000＝2500，
解得x1＝85，x2＝65，
∵要最大程度的减少库存，
∴x＝65，
答：黑木耳的销售单价为65元；
（3）∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240盒的销售任务，
∴，即，
解得：76≤x≤78，
由（1）得，w＝﹣20x2+3000x﹣108000＝﹣20（x﹣75）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝76时，w取得最大值，此时w＝4480，
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．
五．解答题(三)（共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ 3 ；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，
∴A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴y＝x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点H（1，﹣4），
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2），
∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，
∴S△BCH＝FH•OG+FH•BG＝FH•OB＝×2×3＝3．
故答案为：3．
（3）设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），
∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，ME最大＝，此时M（，）．
（4）存在．
如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，），
∴DO＝DB＝DM＝；
∵∠BDM＝90°，
∴OM＝BM＝＝．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM＝，P1（0，0）；
当BP2＝BM＝时，则OP2＝3﹣＝，
∴P2（，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B＝，P3（，0）；
当BP4＝BM＝时，则OP4＝3+＝，
∴P4（，0）．
综上所述，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）．
23．如图1，已知矩形ABCD的宽AD＝8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN＝90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．
（1）求证：∠MPF＝∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF＝NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC＝30°时，设EP＝x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线HK∥AB，PF⊥AB，
∴PF⊥HK，
∴∠MDF+∠MPG＝∠MPG+∠GPM＝90°，
∴∠MPF＝∠GPN；
（2）以点P、M、N为顶点的三角形是等腰直角三角形，
证明：∵MF＝NG，∠MFP＝∠NGP＝90°，
由（1）得∠MPF＝∠GPN，
∴△MFP和△NGP中，
，
∴△MFP≌△△NGP，
∴MP＝NP，∵∠MPN＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形；
（3）△MPN面积存在最小值，此时x＝8，S的最小值是16．
∵∠EDC＝30°，∠PEF＝30°，EP＝x，
∴PF＝，
根据题意得：PF+NG＝8，
∴NG＝8﹣，
由（2）可得MF＝NG＝8﹣，
在直角△PMF中，PF2+MF2＝PM2，
则PM2＝（）2+（8﹣）2＝﹣8x+64，
∵△MPN的面积是S＝PM2，
∴S＝PM2＝﹣4x+32＝（x﹣8）2+16，
又∵0＜x＜16，
∴当x＝8时，△MPN的面积S的最小值是16．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/14 15:25:10；用户：徐志鹏；邮箱：13118847572；学号：25272207
1．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝3
2．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
3．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
4．把抛物线y＝x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2-3B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣3D．y＝（x-3）2+3
5．将方程x2+8x+9＝0左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A．（x+4）2＝25B．（x+4）2＝7C．（x+4）2＝﹣9D．（x+4）2＝﹣7
6．抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线（ ）
A．x＝-2B．x＝2C．x＝4D．x＝﹣4
7．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）＝15B．
C．x（x﹣1）＝15D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A．A（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（0.5，0.5）
9．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3D．有最小值﹣1，无最大值
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④若（﹣3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．②④D．①③④
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的正实根，则k的取值范围为 ．
12．关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
13．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： ．
14．若点M（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是________。
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则CP的长为 ．
三．解答题(一)（共3小题，每小题8分，共24分）
16．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，求此等腰三角形的周长．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
18．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 ；
（3）当﹣1＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
四．解答题(二)（共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于点M（x，y）中心对称，则x＝，y＝．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
（1）已知由点O（0，0），A（1，0），B（0，1）构成的三角形，若△OAB与△O′A′B′关于点P（2，2）成中心对称，请直接写出点O′，A′，B′的坐标；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y＝x+m恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求m的值．
21．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
五．解答题(三)（共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ ；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，已知矩形ABCD的宽AD＝8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN＝90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．
（1）求证：∠MPF＝∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF＝NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC＝30°时，设EP＝x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年中山一中教育集团九年级上学期数学期中测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝3
【解答】解：x2﹣3x＝0，x（ x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3．故选：D．
2．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：由y＝（x+1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
故选：D．
3．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
【解答】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
4．把抛物线y＝x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2-3B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣3D．y＝（x-3）2+3
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（3，3），又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+3．故选：D．
5．将方程x2+8x+9＝0左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+4）2＝﹣7
【解答】解：∵x2+8x+9＝0∴x2+8x＝﹣9
∴x2+8x+16＝﹣9+16∴（x+4）2＝7故选：A．
6．抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线x＝2，故选：A．
7．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）＝15B．
C．x（x﹣1）＝15D．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，即 ＝15．故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A．A（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（0.5，0.5）
【解答】解：如图，点Q即为所求，Q（1，﹣1）．
故选：C．
9．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3D．有最小值﹣1，无最大值
【解答】解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3．故选：C．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④若（﹣3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．②④D．①③④
【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，结论③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（﹣3）＞4﹣1，
∴y1＜y2，结论④正确；
综上所述：正确的结论有②③④，故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的正实根，则k的取值范围为 k≤1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，解之得k≤1．故答案是：k≤1．
12．关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 2 ．
【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2，解得：m＝2，故答案为：2．
13．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： y＝﹣x2﹣1 ．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
14．若点A（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，则m的取值为（ ）
【解答】解：∵点A（﹣5，2m﹣1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点A在第二象限，∴2m﹣1>0，解得：m>，
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则CP的长为 4- ．
【解答】解：把A（﹣2，4）代入y＝ax2得4a＝4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（﹣2，4），AB⊥x轴，
∴AB＝4，OB＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴OD＝OB＝2，∠ODC＝∠OBA＝90°，
∴D点坐标为（0，2），CD⊥y轴，
∴P点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝x2得x2＝2，解得x＝±（负值舍去），
∴P点坐标为（，2），
∴PD＝．CP=4-
故答案为：CP=4-．
三．解答题(一)（共3小题，每小题8分，共24分）
16．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，求此等腰三角形的周长．
【解答】解：,x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
点C2的坐标为（﹣4，﹣2）．
18．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ；
（3）当﹣1＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知：该抛物线经过点（﹣1，0），（2，0），
故设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
把（0，2）代入，得a（0+1）（0﹣2）＝2
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2）或y＝﹣x2+x+2；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴下方的有两部分，对应的y＜0，此时x＜﹣1或x＞2，
故答案为：x＜﹣1或x＞2；
（3）由y＝﹣x2+x+2知，y＝﹣（x﹣）2+．
故该抛物线的顶点坐标是（，）．
所以当﹣1＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤．
四．解答题(二)（共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把x＝﹣1代入方程x2﹣mx+m﹣2＝0得1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝，
则原方程为x2﹣x﹣＝0，
解得：x＝﹣1，或x＝．
因此方程的另一个根为．
（2）证明：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴该方程都有两个不相等的实数根．
20．在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于点M（x，y）中心对称，则x＝，y＝．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
（1）已知由点O（0，0），A（1，0），B（0，1）构成的三角形，若△OAB与△O′A′B′关于点P（2，2）成中心对称，请直接写出点O′，A′，B′的坐标；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y＝x+m恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意，可得点O′的坐标为（2×2﹣0，2×2﹣0），即（4，4），
点A′的坐标为（2×2﹣1，2×2﹣0），即（3，4），
点B′的坐标为（2×2﹣0，2×2﹣1），即（4，3）；
作图如下：
（2）连接OB，如图所示．
则OB的中点坐标为（，3），
根据矩形是中心对称图形可知，
点（，3）必在直线y＝x+m上，
∴3＝×+m
解得m＝．
21．为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式：y＝﹣20x+1800，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
（3）若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
w与x之间的函数关系式为：w＝y （x﹣60）
＝（﹣20x+1800）（x﹣60）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）令﹣20x2+3000x﹣108000＝2500，
解得x1＝85，x2＝65，
∵要最大程度的减少库存，
∴x＝65，
答：黑木耳的销售单价为65元；
（3）∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240盒的销售任务，
∴，即，
解得：76≤x≤78，
由（1）得，w＝﹣20x2+3000x﹣108000＝﹣20（x﹣75）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝76时，w取得最大值，此时w＝4480，
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．
五．解答题(三)（共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ 3 ；
（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，
∴A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴y＝x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点H（1，﹣4），
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2），
∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，
∴S△BCH＝FH•OG+FH•BG＝FH•OB＝×2×3＝3．
故答案为：3．
（3）设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），
∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，ME最大＝，此时M（，）．
（4）存在．
如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，），
∴DO＝DB＝DM＝；
∵∠BDM＝90°，
∴OM＝BM＝＝．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM＝，P1（0，0）；
当BP2＝BM＝时，则OP2＝3﹣＝，
∴P2（，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B＝，P3（，0）；
当BP4＝BM＝时，则OP4＝3+＝，
∴P4（，0）．
综上所述，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）．
23．如图1，已知矩形ABCD的宽AD＝8，点E在边AB上，P为线段DE上一动点（点P与点D、E不重合），∠MPN＝90°，M、N分别在直线AB、CD上，过点P作直线HK∥AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．
（1）求证：∠MPF＝∠GPN；
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察，猜想：当MF＝NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC＝30°时，设EP＝x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线HK∥AB，PF⊥AB，
∴PF⊥HK，
∴∠MDF+∠MPG＝∠MPG+∠GPM＝90°，
∴∠MPF＝∠GPN；
（2）以点P、M、N为顶点的三角形是等腰直角三角形，
证明：∵MF＝NG，∠MFP＝∠NGP＝90°，
由（1）得∠MPF＝∠GPN，
∴△MFP和△NGP中，
，
∴△MFP≌△△NGP，
∴MP＝NP，∵∠MPN＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形；
（3）△MPN面积存在最小值，此时x＝8，S的最小值是16．
∵∠EDC＝30°，∠PEF＝30°，EP＝x，
∴PF＝，
根据题意得：PF+NG＝8，
∴NG＝8﹣，
由（2）可得MF＝NG＝8﹣，
在直角△PMF中，PF2+MF2＝PM2，
则PM2＝（）2+（8﹣）2＝﹣8x+64，
∵△MPN的面积是S＝PM2，
∴S＝PM2＝﹣4x+32＝（x﹣8）2+16，
又∵0＜x＜16，
∴当x＝8时，△MPN的面积S的最小值是16．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/14 15:25:10；用户：徐志鹏；邮箱：13118847572；学号：25272207
相关试卷
广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中试题： 这是一份广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中试题，共6页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期教学质量阶段调研数学试题： 这是一份广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期教学质量阶段调研数学试题，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题： 这是一份广东省中山市中山一中教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
