广东省东莞外国语学校2022-2023学年九年级上学期数学期中试卷(含答案)

这是一份广东省东莞外国语学校2022-2023学年九年级上学期数学期中试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．B．m＝1C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．开口方向向下，顶点坐标为的二次函数为（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实根B．有两个相等的实根C．无实数根D．无法判定
5．已知2是关于x的方程的根，则a的值为（ ）
A．B．4C．2D．5
6．2019年国庆期间出游人数约为8亿，受新冠疫情影响，2021年国庆期间出游人数约为5亿人，设平均每年人数降低的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
9．如果两点和都在反比例函数的图象上，那么（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0）给出下列结论：①；②；③；④．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每3分，共15分）
11．已知、是一元二次方程的两个根，则______．
12．将二次函数的图象沿x轴向右平移1个单位，沿y轴向上平移2个单位，那么平移后的二次函数解析式为______．
13．如图2，是等腰直角三角形，BC是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果AP＝3，那么线段的长等于______．
14．如图3是二次函数的部分图象，若，则x的取值范围是______．
15．若实数x，y满足，则______．
三、解答题（每题6分，共24分）
16．解方程：．
17．已知关于x的一元二次方程，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
18．如图4，将置于平面直角坐标系中，，，，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点的坐标．
19．如图5，小明同学正在参加东莞外国语学校的体育节投篮比赛，若球沿抛物线运行，然后准确落入篮篮筐内，球在空中运行的最大高度为多少米？
四、解答题（每题9分，共27分）
20．夏季的东莞流行一种潮流T恤衫，该T恤衫的进价为每件40元．若售价为每件50元，则每星期可卖出500件，市场调查反映：售价每上涨1元，每星期要少卖出10件．设销售单价为每件x元（），每星期的销售量为y件．
（1）求出y与x的函数解析式．
（2）要使每星期销售该T恤衫的利润为8000元，且尽可能去库存，销售价应为每件多少元？
21．如图6，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
22．如图7，在中，，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
五、解答题（每题12分，共24分）
23．如图8，抛物线与x轴交于，两点．
（1）该抛物线的解析式为______．
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QA＋QC的值最小？若存在求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
24．如图9，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．过点Q作直线l平行于y轴．连接BP，过点交线l于D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为．其中．
（1）的度数为______，点D的坐标为______．（坐标用t表示）；
（2）在运动的过程中，AP、CE、PE始终满足怎样的等量关系？并说明理由．
（3）当t为何值时，为等腰三角形？直接写出t的值．
东莞外国语学校2022—2023学年九年级上学期期中数学考试
评分标准
一、选择题
1—5 AADCB6—10 ADDDC
二、填空题
11．12．13．14．15．5
三、解答题（一）
16．，解：，，，，
或，，；
17．证明：∵，∵，∴．
即：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根
18．画图（略）坐标
19．解：
答：球在空中运行的最大高度为4米
四、解答题（二）
20．解：（1）由题意可得，，∴，
（2）由题意可得，，
解得：，（不符合题意，舍去）．答：销售价定为每件60元时利润为8000元．
21．解：（1）把代入得：，故反比例函数的表达式是，
把代入得：，∴B的坐标是，
把A、B的坐标代入得：，解得：，，
故一次函数的表达式是；
（2）∵，，
∴根据图象得出，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值．
22．（1）证明：由题意可知：，，
∵，∴，，∴，
在与中，；∴
（2）解∵，AC＝BC，∴，
由（1）可知：，∵AD＝BF，∴，∴．
五、解答题（三）
23．（1）则该抛物线的解析式为：；
（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：，
将点，代入得：，解得：．
直线BC解析式为：，
直线BC与抛物线对称轴的交点为Q，此时的周长最小．
解方程组得，，则点即为所求；
（3）如图2，过点P作轴于点E，交BC于点D．
设P点，则D点，
∵，
当时，最大值，当时，，
∴点P的坐标为．
24．（1），．
（2）如图2所示，将绕点B顺时针旋转90°，得到．
由旋转可得，∴，．
∵，，∴．
∴．∴．
又∵，∴，∴．
∴．
（3）①若PB＝PE，则t＝0，不符合题意．
②若EB＝EP，则．
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
∴点E与点C重合（EC＝0），∴点P与点O重合（PO＝0）．
∵点，∴．此时．
③若BP＝BE，在和中，，∴，∴AP＝CE．
∵AP＝t，∴CE＝t．∴．∵，∴
由（2）问可知∴．∴，∴．
解得：
综上所述，4秒或秒时，为等腰三角形．