四川省绵阳市三台县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市三台县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）
1．下列银行图标中，是轴对称图形的是（　　）
A．徽商银行 B．中国建设银行
C．交通银行 D．中国银行
2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
3．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣6）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（3，6） D．（﹣6，﹣3）
4．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（　　）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
5．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
7．下列说法正确的是（　　）
A．三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点
B．三条线段a、b、c，如果a+b＞c，则以这三条线段为边能够组成三角形
C．如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等
D．若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
8．如图，AB∥DE，AB＝DE，增加下列一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A＝∠D B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　）

A．40° B．20° C．55° D．30°
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，CF＝2，则线段EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）

A．38° B．42° C．44° D．48°
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
13．已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是　 　．
14．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是　 　．

15．如图，已知∠DCE＝∠A＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，BE＝8cm，则AD+AB＝　 　cm．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，PC＝4cm，则PB的长为 　 　．

17．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm．

18．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　 　秒时，△ABP和△DCE全等．

三、解答题（共46分）
19．（7分）如图坐标系中，按要求完成作图：
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在x轴上画出点Q，使QA+QC最小，写出Q点的坐标 　 　．

20．（6分）在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝4：5：6，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD、CE交于H（如图），求∠BHC的度数．

21．（8分）已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，AD平分∠EDC，∠E＝∠B，DE＝DC．
求证：（1）△ADE≌△ADC；
（2）AB＝AC．

22．（8分）如图，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角，点O是∠MBC和∠NCB的平分线的交点，点O叫做△ABC的旁心．
（1）已知∠A＝100°，那么∠BOC＝　 　度．
（2）猜想∠BOC与∠A有什么数量关系？并证明你的猜想．

23．（7分）如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE．

24．（10分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC（知识链接：等边三角形三条边都相等，三个内角都是60°）的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）深入探究：
Ⅰ．如图②，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图②相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得出的结论，不必证明．

2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）
1．下列银行图标中，是轴对称图形的是（　　）
A．徽商银行 B．中国建设银行
C．交通银行 D．中国银行
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣6）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（3，6） D．（﹣6，﹣3）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解答．
【解答】解：点M（﹣3，﹣6）关于y轴对称点的坐标为（3，﹣6），
故选：A．
4．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（　　）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【分析】多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，即可求得对角线的条数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴每个外角是30°，
∴多边形边数是360°÷30°＝12，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3＝9条．
故选：C．
5．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
6．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积．
【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE＝×16＝4．
故选：C．
7．下列说法正确的是（　　）
A．三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点
B．三条线段a、b、c，如果a+b＞c，则以这三条线段为边能够组成三角形
C．如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等
D．若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
【分析】根据三角形角平分线的性质对A选项进行判断；利用反例对B选项进行判断；通过高的位置不同可对C选项进行判断；根据三角形全等的判定方法对D选项进行判断．
【解答】解：A．三角形内部到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，所以A选项不符合题意；
B．若a＝5，b＝3，c＝1，则a+b＞c，但5、3、1不符合三角形三边的关系，所以B选项不符合题意；
C．如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，若相等的高一个在三角形外部，一个在三角形内部，则这两个三角形不全等，所以C选项不符合题意；
D．若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，通过中线倍长证明两边的夹角相等，那么这两个三角形全等，所以D选项符合题意．
故选：D．
8．如图，AB∥DE，AB＝DE，增加下列一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A＝∠D B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上判定定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AB＝DE，
A、添加∠A＝∠D，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用SAS证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加AC＝DF，根据SSA不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
D、添加∠ACB＝∠F，利用AAS证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　）

A．40° B．20° C．55° D．30°
【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C＝∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，
∴∠B＝60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D＝∠B＝60°，
∵∠DB′C＝∠A+∠ADB′，
∴60°＝20°+∠ADB′，
∴∠ADB′＝40°，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，CF＝2，则线段EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE＝∠EOB，∠OCF＝∠COF，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得EF＝BE+CF．
【解答】解：∵BO、CO是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBE＝∠OBC，∠OCF＝∠BCO，
又∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，
∴∠OBE＝∠BOE，∠COF＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF＝3+2＝5，
故选：A．
11．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）

A．38° B．42° C．44° D．48°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，FC＝FA，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：C．

12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC＝∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD＝∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
【解答】解：∵BE是中线得到AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
而∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是　22cm　．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＜9cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为9cm时，符合三边关系，其周长为9+9+4＝22cm．
故该三角形的周长为22cm．
故答案为：22cm．
14．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是　10：51　．

【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5．
【解答】解：电子表的实际时刻是10：51．
故答案为：10：51．
15．如图，已知∠DCE＝∠A＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，BE＝8cm，则AD+AB＝　8　cm．

【分析】本题可先根据AAS判定△ADC≌△BCE，从而可得出对应边AD＝BC、AC＝BE，那么所求两边和即为BE的长，由此可得出所求的解．
【解答】解：∵∠DCE＝∠A＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝90°，∠D+∠DCA＝90°；
∴∠D＝∠ACE；
∵∠A＝90°，BE⊥AC，DC＝EC，
∴△ADC≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BC，AC＝BE；
∴AD+AB＝BC+AB＝AC＝BE＝8cm．
故填8．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，PC＝4cm，则PB的长为 　8cm　．

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可知PB＝2PA，再根据∠PAC＝∠C＝30°，可得PA＝PC，进一步可得PB的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠BAP＝90°，
∴PB＝2AP，∠PAC＝30°，
∴PA＝PC＝4cm，
∴PB＝8cm，
故答案为：8cm．
17．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　8　cm．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．

18．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　1或7　秒时，△ABP和△DCE全等．

【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
三、解答题（共46分）
19．（7分）如图坐标系中，按要求完成作图：
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在x轴上画出点Q，使QA+QC最小，写出Q点的坐标 　（﹣3，0）　．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接CD交x轴于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝．

（3）如图，点Q即为所求，Q（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．
20．（6分）在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝4：5：6，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD、CE交于H（如图），求∠BHC的度数．

【分析】利用三角形内角和定理，可求出∠ABC＝60°，∠ACB＝72°，由BD，CE分别是AC、AB上的高，可得出∠BDC＝∠CEB＝90°，进而可求出∠CBD，∠BCE的度数，再在△BCH中，利用三角形内角和定理，可求出∠BHC的度数．
【解答】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝4：5：6，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝72°．
∵BD、CE分别是AC、AB上的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣72°＝18°，∠BCE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°．
在△BCH中，∠CBH+∠BCH+∠BHC＝180°，
∴∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣18°＝132°．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，AD平分∠EDC，∠E＝∠B，DE＝DC．
求证：（1）△ADE≌△ADC；
（2）AB＝AC．

【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△ADC即可；
（2）由全等三角形的性质得∠E＝∠C，再证∠B＝∠C，然后由等腰三角形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
（2）由（1）可知，△ADE≌△ADC，
∴∠E＝∠C，
又∵∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
22．（8分）如图，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角，点O是∠MBC和∠NCB的平分线的交点，点O叫做△ABC的旁心．
（1）已知∠A＝100°，那么∠BOC＝　40　度．
（2）猜想∠BOC与∠A有什么数量关系？并证明你的猜想．

【分析】（1）根据BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，即可得到∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，利用三角形外角性质，即可得出∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），再根据∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB进行计算即可．
（2）利用（1）中的方法，即可得到∠BOC与∠A的数量关系．
【解答】解：（1）∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，
∵∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝90°﹣×100°
＝40°，
故答案为：40；
（2）猜想：∠BOC＝90°﹣∠A．
证明：∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，
∵∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A．
23．（7分）如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE．

【分析】延长AE至F，使AE＝EF，连接BF，于是证得△AED≌△FEB，根据全等三角形的性质得到BF＝DA，∠FBE＝∠ADE，推出∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC，证得△ABF≌△CDA，于是得到AC＝AF，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：延长AE至F，使AE＝EF，连接BF，
在△ADE与△BFE中，
，
∴△AED≌△FEB，
∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠ABD+∠FBE，
∴∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC，
在△ABF与△ADC中，
，
∴△ABF≌△CDA，
∴AC＝AF，
∵AF＝2AE，
∴AC＝2AE．

24．（10分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC（知识链接：等边三角形三条边都相等，三个内角都是60°）的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）深入探究：
Ⅰ．如图②，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图②相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得出的结论，不必证明．
【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF＝BD；
（2）Ⅰ．AF+BF′＝AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD＝AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，所以AF+BF′＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF＝AB+BF′．
【解答】解：（1）AF＝BD；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∵△DCF是等边三角形，
∴DC＝CF，∠DCF＝60°；
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，
即∠BCD＝∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF（全等三角形的对应边相等）；

（2）Ⅰ．AF+BF′＝AB；
证明：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF；
同理可得：△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′＝AD，
∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；
理由：∵△ABC，△DF'C都是等边三角形，
∴BC＝AC，F'C＝DC，∠ACB＝∠DCF'＝60°，
∴∠BCF'＝∠ACD，
在△BCF′和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′＝AD（全等三角形的对应边相等），
同理可得：△BCD≌△ACF，
∴AF＝BD，
∵BD＝AB+AD＝AB+BF′，
∴AF＝AB+BF′．