浙江省绍兴市新昌县七星中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份浙江省绍兴市新昌县七星中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县七星中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题员有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．抛物线y＝（x﹣2）2﹣的对称轴是直线（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝﹣
2．下列说法正确的是（　　）
A．天气预报说明天降水的概率为 10%，则明天一定是晴天
B．任意抛掷一枚均匀的 1 元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上
C．13 人中至少有 2 人的出生月份相同
D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3 的概率是
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AB＝6，则DE为（　　）
A．18 B．2 C．54 D．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＜3 B．x＞﹣1
C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1 或 x＞3
5．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
7．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（　　）

A．π B．π C．2π D．3π
8．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）

A． B． C． D．
9．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm．

A．12 B．12 C．6 D．6
10．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．已知，则的值是　 　．
12．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 　 　．
13．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　 　米．

14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到熟能生巧．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为
　 　．（结果保留π）
15．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB＝45°，则⊙P的圆心的坐标是　 　．

16．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝　 　；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°．
（1）求证：△ABC∽△DCA．
（2）若BC＝1，AC＝2，求AD的长．

18．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）
（1）求b的值；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
19．（8分）如图，已知⊙O的半径是5，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB于点E．
（1）点F是⊙O上任意一点，请仅用无刻度的直尺画出∠AFB的角平分线；
（2）若AC＝8，试求AB的长．

20．（8分）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，调动党员教师为民服务的积极性，12月1日上午，某校党支部组织学校党员教师开展“不忘初心、牢记使命”主题教育活动，安排志愿者分别到A、B、C、D四个小区进行服务活动．
（1）若去D小区的人数占全部人数的10%，试求去D小区的人数，并补全统计图；
（2）现有甲乙丙丁4位志愿者也参加此次活动，将采取随机抽签的方式从中选派2人去B小区，试求出正好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．

22．（12分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y＝﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润＝票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

24．（14分）已知菱形OABC的边长为5，且点A（3，4），点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y＝ax2+bx+c与边AB交于点D．
（1）求点E的坐标；
（2）连结DE，将△BDE沿着DE翻折痕．
①当点B的对应点B′恰好落在线段AC上时，求点D的坐标；
②连接OB，BB’，若△BB'D与△BOC相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a＝　 　．



2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县七星中学九年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题员有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．抛物线y＝（x﹣2）2﹣的对称轴是直线（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝﹣
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵由抛物线y＝（x﹣2）2﹣可知，其顶点坐标为（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
故选：A．
2．下列说法正确的是（　　）
A．天气预报说明天降水的概率为 10%，则明天一定是晴天
B．任意抛掷一枚均匀的 1 元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上
C．13 人中至少有 2 人的出生月份相同
D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3 的概率是
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；
B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、13人中至少有2人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；
D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；
故选：C．
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AB＝6，则DE为（　　）
A．18 B．2 C．54 D．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的长．
【解答】解：∵AB：DE＝3：1，AB＝6，
∴＝，
解得：DE＝2．
故选：B．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＜3 B．x＞﹣1
C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1 或 x＞3
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的对称轴和与x轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：由函数图象可知，
该函数的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）．
则该函数与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
故当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故选：C．
5．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】先利用圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝55°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠BOD＝×110°＝55°，
而∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°．
故选：D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，
故选：B．
7．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（　　）

A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OO′，得到OO′＝OA，根据折叠的性质得到OA＝O′A，求得△AOO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，
∴OO′＝OA，
∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，
∴OA＝O′A，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOO′＝30°，
∴的长＝＝π，
故选：B．

8．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE＝a，则AE＝3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【解答】解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
解法二：延长BE交CD的延长线于点M．

∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故选：C．
9．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm．

A．12 B．12 C．6 D．6
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【解答】解：根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为 y＝ax2+bx+c，
∵a＝﹣，
将Q点和B点坐标代入，
得系数b＝，c＝14，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+x+14．
符合题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，
当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，
解得：x＝6+12（负值舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．
故选：B．
10．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，根据线段的和差得到CP＝BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到∠ABP＝∠CAQ，PB＝AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AP＝CQ，
∴CP＝BQ，
∵PC＝2AP，
∴BQ＝2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴＝＝，＝，
∴CQ＝3PD，
∴BQ＝6PD，
∴BO＝6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE＝AC＝4，
∵∠C＝60°，
∴BE＝4，
∴PE＝＝1，
∴PC＝4+1＝5，或PC＝4﹣1＝3，故②错误；
在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，PB＝AQ，
∵∠APQ＝∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴＝，
∴AP2＝OP•PB，
∴AP2＝OP•AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB＝∠NBA＝60°，NA＝NB，
∵∠PBA＝∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO＝∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
＝60°+∠BAQ+60°+∠QAC
＝120°+∠BAC
＝180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，CN于AB交于点F，
∵NA＝NB，CA＝CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAF＝∠ACM＝30°，
∴∠MAC＝∠MAF+∠BAC＝90°，
在Rt△MAC中，AC＝3，
∴MA＝AC•tan∠ACM＝，CM＝2AM＝2，
∴MO′＝MA＝，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．已知，则的值是　　．
【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
故答案为：．
12．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 　4　．
【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
13．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　1.4　米．

【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，＝，
解得h＝1.4．
故答案为：1.4．
14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到熟能生巧．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为
　　．（结果保留π）
【分析】直接利用几何概率的意义分别得出圆和正方形面积进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，圆的面积为：π×22＝4π（cm2），正方形面积为：1×1＝1（cm2），
故油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为：．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB＝45°，则⊙P的圆心的坐标是　（2，0）　．

【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB＝90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE＝AF＝3，列式可得结论．
【解答】解：连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，
∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），
∴OE＝1，AF＝3，
∵∠ACB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPE+∠APF＝90°，
∵∠BPE+∠EBP＝90°，
∴∠APF＝∠EBP，
∵∠BEP＝∠AFP＝90°，PA＝PB，
∴△BPE≌△PAF（AAS），
∴PE＝AF＝3，
设P（a，0），
∴a+1＝3，
∴a＝2，
∴P（2，0），
故答案为：（2，0）．

16．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝　2　；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为　2+　．

【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AC'，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性质得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形内角和定理和四边形内角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性质即可得出PD＝BC'＝2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，证明△ADC'是等边三角形，得出AC'＝AD＝2，由等边三角形的性质得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：AC＝AC'，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，
∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，
∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，
∴∠BPC'＝90°，
∵D为B'C'中点，
∴PD＝BC'＝2；
故答案为：2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，如图所示：
∵∠AB'C'＝∠ABC＝30°，
∴∠AC'B'＝60°，
∵点D为B'C'中点，
∴AD＝BC'＝DC'，
∴△ADC'是等边三角形，
∴AC'＝AD＝2，
∵DE⊥AC'，
∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，
当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+；
故答案为：2+．

三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°．
（1）求证：△ABC∽△DCA．
（2）若BC＝1，AC＝2，求AD的长．

【分析】（1）先根据平行线的性质由AD∥BC得∠ACB＝∠DAC，已知条件中还有∠B＝∠ACD＝90°，根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”可以证明△ABC∽△DCA；
（2）由（1）可知△ABC∽△DCA，根据相似三角形的对应边成比例列出等式，其中BC＝1，AC＝2，可以求出AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△DCA．
（2）解：∵△ABC∽△DCA，
∴，
∵BC＝1，AC＝2，
∴，
∴AD＝4，
∴AD的长为4．
18．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）
（1）求b的值；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0），可以求得b的值；
（2）根据（1）中b的值和抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，可以求得点B和点C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0），
∴0＝12+b×1+3，
解得，b＝﹣4，
即b的值是﹣4；
（2）由（1）知b＝﹣4，
则y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，
0＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
解得，x1＝1，x2＝3，
故点B的坐标为（3，0），
当x＝0时，y＝3，即点C的坐标为（0，3），
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴AB＝2，
∴△ABC的面积是：＝3．
19．（8分）如图，已知⊙O的半径是5，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB于点E．
（1）点F是⊙O上任意一点，请仅用无刻度的直尺画出∠AFB的角平分线；
（2）若AC＝8，试求AB的长．

【分析】（1）直接利用圆周角定理进而连接DF得出答案；
（2）利用勾股定理得出AD的长，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：连接DF即可；

（2）如图，连接AD，
∵直径CD⊥AB，
∴AB＝2AE，且∠ACD＝90°，
又∵AC＝8，CD＝10，
∴AD＝＝6，
在△ACD中，×AC×AD＝×CD×AE，
解得：AE＝4.8，
∴AB＝2AE＝9.6．

20．（8分）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，调动党员教师为民服务的积极性，12月1日上午，某校党支部组织学校党员教师开展“不忘初心、牢记使命”主题教育活动，安排志愿者分别到A、B、C、D四个小区进行服务活动．
（1）若去D小区的人数占全部人数的10%，试求去D小区的人数，并补全统计图；
（2）现有甲乙丙丁4位志愿者也参加此次活动，将采取随机抽签的方式从中选派2人去B小区，试求出正好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．

【分析】（1）用A、B、C社区的人数除以所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以D社区所占的百分比求出D社区的人数，从而补全统计图；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和正好抽到甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
（10+20+15）÷（1﹣10%）＝50（人），
50×10%＝5（人），
答：D小区的人数有5人，
补图如下：


（2）根据题意画图如下：

共有12种等情况数，其中正好抽到甲和乙的有2种，
则正好抽到甲和乙的概率是＝．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．

【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△COE中，OC＝＝4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．
22．（12分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y＝﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润＝票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“利润＝票房收入﹣运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由10≤x≤50，且x是整数结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：w＝（﹣4x+220）x﹣1000＝﹣4x2+220x﹣1000；

（2）∵w＝﹣4x2+220x﹣1000＝﹣4（x﹣27.5）2+2025，
∴当x＝27或28时，w取得最大值，最大值为2024，
答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
23．（12分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；

（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；

（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，

根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
24．（14分）已知菱形OABC的边长为5，且点A（3，4），点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y＝ax2+bx+c与边AB交于点D．
（1）求点E的坐标；
（2）连结DE，将△BDE沿着DE翻折痕．
①当点B的对应点B′恰好落在线段AC上时，求点D的坐标；
②连接OB，BB’，若△BB'D与△BOC相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a＝　﹣　．


【分析】（1）由条件可得出B，C的坐标，有中点坐标公式可求出E点坐标；
（2）①求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+10，设D（d，4），由BD＝B'D可得m的方程，则D点坐标可求出；
②由题意可得若△BB'D与△BOC相似，△BB'D是等腰三角形，则点B′恰好落在线段OB上，设BB′与DE交于点H，可证明△BHD≌△BHE，则BD＝BE，可得点D的坐标，由物线y＝ax2+bx+c过点A，E，D三点，由待定系数法可求出a的值．
【解答】解：（1）∵A（3，4），四边形OABC为菱形，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，
∴B（8，4），C（5，0），
∴E（，2）；
（2）①设AC：y＝kx+m，把A（3，4）和C（5，0）代入得：
，解得，
∴y＝﹣2x+10，
设B'（x，﹣2x+10），
由BE＝B'E可得（6.5﹣x）2+（2x﹣8）2＝2.52，
解得x＝4或x＝5，
∴B'（4，2）或（5，0），
设D（d，4），由BD＝B'D可得（d﹣4）2+4＝（8﹣md）2或（d﹣5）2+16＝（8﹣d）2，
解得d＝或，
∴D（，4）或D（，4）；
②∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，
∴△BOC是等腰三角形，
若△BB'D与△BOC相似，则△BB'D是等腰三角形，BD＝B′D，

∴∠B'BD＝∠BB'D＝∠COB＝∠OBC，
设BB′与DE交于点H，
由翻折得BB′⊥DE，
∴∠BHD＝∠BHE＝90°，
∵BH＝BH，
∴△BHD≌△BHE（ASA），
∴BD＝BE＝BC＝AB，
∵A（3，4），B（8，4），
∴D（，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（3，4），E（，2），D（，4），
∴，解得，
故答案为：﹣．