高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质同步训练题

2.4.2 简单幂函数的图象和性质

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 (    )

A. 2 B.  C. 4 D. 2或

2. 如果函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(    )

A.  B.  C.  D.

3. “”是“函数为常数为幂函数”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若a，，且，则的值(    )

A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5. 下列所给的函数中，不是幂函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是(    )

A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
B. 所有幂函数的图象均过点
C. 幂函数一定具有奇偶性
D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限

7. 关于函数的描述错误的命题是(    )

A. ，
B.
C. ，
D.

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

8. 和的大小关系为__________填<或
9. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________.
10. 如果，则m的取值范围是__________.
11. 已知幂函数是奇函数，且，则m的值为__________.
12. 设幂函数的图象过点，则：①的定义域为R；②是奇函数；③是减函数；④当时，；其中正确的有__________.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    已知幂函数满足：
    在区间上为增函数；
    对任意的，都有；
    求同时满足的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
14. 本小题分

已知幂函数的图象过点

求函数的解析式；

设函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.

15. 本小题分

已知幂函数为偶函数．

求函数的解析式；

若函数在区间上为单调函数，求实数a的取值范围．

16. 本小题分

 已知幂函数Z在上单调递减，且为偶函数．

求的解析式；

讨论的奇偶性，并说明理由．

17. 本小题分

已知幂函数

试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性;

若该函数的图象经过点，试确定m的值，并求满足条件的实数a的取值范围.

18. 本小题分
    已知函数
    直接写出在上的单调区间无需证明；
    求在上的最大值；
    设函数的定义域为I，若存在区间，满足：，，使得，则称区间A为的“区间”．已知，若是函数的“区间”，求实数b的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，属于基础题.
 根据幂函数的定义，令，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在上为减函数即可.

【解答】

 解：幂函数，
 ， 解得，或； 
又时为减函数，
 当时，，幂函数为，在为减函数，满足题意； 
当时，，幂函数为，在为增函数，不满足题意； 
综上，
 故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数的单调区间的求解及对勾函数单调区间的求解，属于基础试题．
分别结合二次函数及对勾函数的单调性求出满足条件的单调区间即可．

【解答】

解：由题意可得，的对称轴为，其单调递增区间为
又，根据对勾函数的性质可知单调递减区间为和
综上可得，满足条件的“缓增区间”I为
故选：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件的判断涉及幂函数的定义.
求出“函数为常数为幂函数”时b的值，判断与“”的关系即可.

【解答】

解：当函数为常数为幂函数时，
，
解得或，
“”是“函数为常数为幂函数”的充分不必要条件.
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于拔高题.
由题意，判断出函数的单调性及奇偶性，再根据幂函数的性质求解.

【解答】

解：对任意，且，满足，得函数单调递增.
函数是幂函数，
则或
又函数单调递增，故，，
所以，
，且，，
所以
故选：

5.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的定义，属于基础题.
利用幂函数的定义判断即可.

【解答】

解：由幂函数的定义可知，
ACD不是幂函数，B是幂函数，
故选

6.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的性质，考查函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．
根据幂函数的性质分别判断即可．

【解答】

解：对于选项A：设幂函数为，幂函数的图象经过点，
则函数的解析式为，解得，
整理得，故A正确；
对于B：比如，图象不过点，故B错误；
对于C：对于，无奇偶性，故C错误；
对于D：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确；
故选：

7.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

由函数的定义域与值域判断A与B；再由函数的单调性判断
本题考查命题的真假判断与应用，考查幂函数的性质，是中档题．

【解答】

解：函数的定义域为值域为故A错误，B正确；
函数在上单调递增，
则对，且，都有，故C错误；
当时，，不存在故D错误．
故选

8.【答案】< 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的单调性问题，属于基础题．
根据幂函数的单调性判断即可．

【解答】

解：幂函数在第一象限单调递增，
而，
故，
故答案为：

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的性质，函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
由幂函数为奇函数，且在上递减，得到，由此分析能求出的值．

【解答】

解：，
幂函数为奇函数，且在上递减，
，
当是整数时，是奇数，
满足．
当为时，不是奇函数，不满足题意，
故答案为

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，可得，解出即可得出．

【解答】

解：，
，
解得
故m的取值范围为：
故答案为：

11.【答案】0 

【解析】

【分析】

根据题意利用函数的性质列出不等式求出m的值，再验证即可．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
 

【解答】

解：因为幂函数，且，
，
即，
解得；
又因为，所以，或；
幂函数是奇函数，
当时，，不符题意，舍去；
当时，，符合题意；
所以m的值为
故答案为：

12.【答案】②④ 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性质的判断与应用．
根据待定系数法求出幂函数，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．

【解答】

解：设，因为函数的图象过点，所以，解得，

根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，
③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；

对于④，设点，，且，
点为线段AB的中点，点，
由图可知，点D在点C的下方，所以

故答案为②④．

13.【答案】解：因为函数在递增，所以，解得：，
因为，，所以，或
又因为对任意的，都有，所以是偶函数，
所以为偶数．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，
所以
所以，在上递增．
所以，，
所以函数的值域是 

【解析】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
由题意利用幂函数的性质，先求得的解析式，再利用单调性求出函数的值域．
 

14.【答案】解：幂函数的图象过点，

，
，
；
函数，
，对称轴为
在上为减函数，
时，，

所以a的取值范围为

【解析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了二次函数的性质，是中档题．
根据幂函数的图象过点，列方程求出的值，写出的解析式；
写出函数的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出a的取值范围．
 

15.【答案】解：由为幂函数知，
即，
得或，
当时，，符合题意；
当时，，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．

由得，
即函数的对称轴为，
由题意知函数在上为单调函数，
或，
即或，即实数a的取值范围为 

【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，考查函数奇偶性的应用，考查函数解析式的求解，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．
根据幂函数的性质即可求的解析式；
根据函数在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．
 

16.【答案】解：由于幂函数在上单调递减，
所以，求得，
因为，
所以，1，
因为是偶函数，
经检验，当时符合题意，
所以，
故


当时，，
对于任意的都有，
所以是奇函数；
当时，，对于任意的都有，
所以是偶函数；
当且时，，，
因为，，
所以是非奇非偶函数.
综上所述，当时，为奇函数，
当时，为偶函数，
当且时，为非奇非偶函数. 

【解析】本题考查幂函数、单调性、奇偶性和函数的解析式，考查推理能力和计算能力.
  利用幂函数的定义和性质即可求解；
利用奇偶性的定义分别讨论当，和且时的奇偶性即可.
 

17.【答案】解：，，
而m与中必有一个为偶数，
为正偶数.
函数的定义域为
且在其定义域上为增函数.

函数的图象经过点，
，即，
，解得或
又，，
由，得，
解得
实数a的取值范围为

【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质和利用单调性求参数的方法，属于拔高题.
将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性;
将点的坐标代入 ，求出m的值，再利用函数的单调性列出不等式，求出实数a的取值范围即可.
 

18.【答案】解：在区间上单调递减；在区间上单调递增．
由题意知，，
①若，则在上单调递减，的最大值为；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
，的最大值为；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
，的最大值为，
综上，若，则的最大值为；若，则的最大值为
由知，
①当时，在上的值域为
在上的值域为，
，
满足使得，
此时是的“区间”；
②当时，在上的值域为，
在上的值域为，
当时，，
使得，
即
此时不是的“区间”；
综上，实数b的最大值为 

【解析】直接根据，写出单调区间即可；
根据条件分，和三种情况判断的单调性，然后求出最值；
分和两种情况讨论，然后结合条件求出b的最大值．
本题考查了函数的单调性，函数的最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于较难题．