2022-2023学年天津市西青区杨柳青三中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市西青区杨柳青三中九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

2. 下列函数中属于二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 抛物线的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

4. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列图象中，当时，函数与的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 二次函数取最小值时，自变量的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 关于的一元二次方程的一个根为，则为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 无论为何实数，二次函数的图象总是过定点(    )

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，不等式的解集为(    )

A. 或 B.  C. 或 D. 或

11. 已知点，，都在函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；其中所有正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都要赛一场，计划安排场比赛，应邀请______支球队参加比赛．
14. 三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形周长是______．
15. 一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的关系式是______
16. 已知，是方程的两实数根，则的值为______．
17. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值是______ ．
18. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”某车的刹车距离与车速之间的函数关系是，现在该车在限速的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为，请推测该车刹车时是否超速______填“是”或“否”，车速为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    用适当方法解方程
    ；
    ．
20. 本小题分
    求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
21. 本小题分
    如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？

22. 本小题分
    某商场将进价为元的书包以元售出，平均每月能售出个，调查表明：这种书包的售价每上涨元，其销售量就减少个．
    请写出每月售出书包的利润元与每个书包涨价元间的函数关系式；
    问每月元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元．
23. 本小题分
    图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽水面下降，水面宽度增加多少？结果保留根号

24. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．

25. 本小题分
    如图，已知抛物线经过点、、三点．
    求抛物线的解析式．
    点是线段上的点不与，重合，过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用的代数式表示的长．
    在的条件下，连接、，是否存在，使的面积最大？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是二次函数，故本选项正确；
B、不是整式函数，故本选项错误；
C、是一次函数，故本选项错误；
D、不是整式函数，故本选项错误．
故选：．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
故选：．
根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数表达式是，
故选：．
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，属于基础题．
根据两次降价后的价格降价前的价格连续两次降价率，然后由题意可列出方程．
【解答】
解：依题意得连续两次降价后的售价为，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、对于直线，得，，与矛盾，所以选项错误；
B、由抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，所以选项错误；
C、由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，所以选项错误；
D、由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，由于，则，所以直线与轴的交点在轴下方，所以选项正确．
故选：．
根据直线直线经过的象限得到，，与矛盾，则可对进行判断；根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，由此可对进行判断；根据抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，由此可对进行判断；根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与轴的交点在轴下方，由此可对进行判断．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，顶点式为，顶点坐标为；当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为也考查了一次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为二次函数可化为，
故当函数取最小值时，
自变量的值是．
故选D．
本题考查二次函数最大小值的求法．
求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，得
，且，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入原方程列出关于的方程，通过解该方程来求的值；注意一元二次方程的二次项系数不等于零．
本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不为，这是考试中经常出现的知识点，需要同学们注意．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
无论为任何实数，二次函数的图象总是过定点，即该定点坐标与的值无关．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是明确二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与的值无关．
【解答】
解：原式可化为，
二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与的值无关，
于是，解得，
此时的值为，图象总过的定点是．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，抛物线在轴上方时，，
不等式的解集为．
故选：．
根据在轴上方的图象函数值大于得出结论．
本题考查了二次函数与不等式组，关键是弄清楚在轴上方的图象函数值大于，在轴下方的图象函数值小于．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
函数图象的对称轴是轴，图象的开口向上，
当时，随的增大而减小，
点关于对称轴的对称点的坐标是，且，
，
故选：．
根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向上，当时，随的增大而减小，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，故错误；
当时，图象与轴交点负半轴明显大于，
，
故正确；
由抛物线的开口向下知，
对称轴为，
，
故正确；
对称轴为，
、异号，即，
由图知抛物线与轴交于正半轴，
，
故错误；
正确结论的序号为．
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
二次函数系数符号的确定：
由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则；否则；
由对称轴和的符号确定：由对称轴公式判断符号；
由抛物线与轴的交点确定：交点在轴正半轴，则；否则；
当时，可以确定的值；当时，可以确定的值．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
设邀请支球队参加比赛，那么第一支球队和其他球队打场球，第二支球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解．
【解答】
解：设邀请支球队参加比赛，
依题意得，
，
或不合题意，舍去．
即应邀请支球队参加比赛．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：由，
解得：或
当第三边长为时，
由三角形三边关系可知：，
故不能组成三角形，
当第三边为时，
由三角形三边关系可知：，能够组成三角形，
这个三角形的周长为：，
故答案为：
根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，
故设该二次函数的解析为，
该函数的顶点坐标为：，
又该二次函数的顶点为，
，，
该二次函数的解析为．
根据题意，可根据二次函数解析式的“顶点式”求解，另外，不要丢掉二次函数图象的开口向下的那一个函数图象的解析式．
主要考查了用待定系数法去二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式的运用和最值与函数之间的关系．当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大小值时，可设解析式为顶点式：．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
先根据根与系数的关系得到，，再运用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：根据题意得，，
所以．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象与坐标轴的交点判断，以及解方程抛物线与轴只有一个交点，则，列方程求解即可．
【解答】
解：根据题意：，
解得．
故答案为．  

18.【答案】是   

【解析】解：将代入关系式中，得．
以上说明，在正常情况下，汽车以速度行驶时，刹车距离为，而题目中测得刹车的距离为，
则肯定该汽车在刹车时汽车有超速行驶．
把代入，得，
，
故车速为．
故答案为：是，．
阅读题目，分析刹车距离与车速之间的函数关系式：，可先求出汽车在正常情况下，以的速度行驶时的刹车距离；然后与进行比较，即可判断该汽车是否在刹车时超速行驶．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将代入关系式进行计算，将实际问题转化为数学模型．
 

19.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】解：，
抛物线的开口方向向下、对称轴为直线、顶点坐标为． 

【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方法和二次函数的性质．
 

21.【答案】解：设垂直于墙的一边长为，那么另一边长为，
由题意得，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
，
此时，
答：围成一面靠墙，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为的矩形即可． 

【解析】设垂直于墙的一边长为，那么另一边长为，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出一元二次方程及检验．
 

22.【答案】解：每个书包涨价元，
销量为，
每个书包的利润为，
，
，
，，
；

不是，
理由如下：，
，
每个书包涨价元时，利润最大，此时书包的定价为元． 

【解析】求得每个书包的利润，及每月可卖出书包的个数，那么利润等于这个量的乘积；
用配方法求得中求得的二次函数的最值即可．
本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

23.【答案】解：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：

由一直可得抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，将代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为，
把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了米，
答：水面宽度增加米． 

【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
；
二次函数图象的对称轴为直线，
抛物线与轴两个交点关于直线对称，
由图可知抛物线与轴一个交点为，
另一个交点为，
一元二次方程的解为，． 

【解析】由即可列不等式得到答案；
根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．
本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为：，则：
，；
抛物线的解析式：．

设直线的解析式为：，则有：
，
解得；
故直线的解析式：．
已知点的横坐标为，，则、；
故．

如图；
，
；
当时，的面积最大，最大值为． 

【解析】已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
先利用待定系数法求出直线的解析式，已知点的横坐标，代入直线、抛物线的解析式中，可得到、点的坐标，、纵坐标的差的绝对值即为的长．
设交轴于，那么的面积可表示为：，的表达式在中已求得，的长易知，由此列出关于、的函数关系式，根据函数的性质即可判断出是否具有最大值．
该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．