2020-2021学年第十二章 分式和分式方程综合与测试习题

这是一份2020-2021学年第十二章 分式和分式方程综合与测试习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第十二章 分式和分式方程 综合复习题

一、单选题
1．（2022·河北石家庄·八年级期末）若，则下列分式化简正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·八年级期末）对于任意的实数，总有意义的分式是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北邯郸·八年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
4．（2022·河北沧州·八年级期末）下列各分式运算结果正确的是（    ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
5．（2022·河北邯郸·八年级期末）已知，则的值是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有人，结果每个同学比原来少分摊元车费（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北沧州·八年级期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（   ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
8．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如果关于x的方程无解，则m的值等于（    ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
9．（2022·河北唐山·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（    ）
A． B．
C． D．
10．（2022·河北保定·八年级期末）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（   ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题
11．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为_______．
12．（2022·河北邢台·八年级期末）分式变形中的整式A=_____，变形的依据是_____．
13．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知，______．
14．（2022·河北唐山·八年级期末）已知，ab=-1，a+b=2，则式子=___________.
15．（2022·河北沧州·八年级期末）计算：（1﹣）÷＝___．
16．（2022·河北张家口·八年级期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是_________．
17．（2022·河北保定·八年级期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是___________________
18．（2022·河北沧州·八年级期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
（1）根据题意，可列分式方程为______；
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为______米．
三、解答题
19．（2022·河北唐山·八年级期末）计算下列各式：
（1）
（2） ．
20．（2022·河北保定·八年级期末）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．
21．（2022·河北张家口·八年级期末）计算：（1）
（2）
22．（2022·河北唐山·八年级期末）解方程：．
23．（2022·河北保定·八年级期末）（1）求值：（1﹣）÷，其中a＝100．
（2）解方程：+3．
24．（2022·河北石家庄·八年级期末）基本运算：
（1）解分式方程
（2）若，先化简再求值
25．（2022·河北邯郸·八年级期末）解方程：
(1)；
(2)
26．（2022·河北石家庄·八年级期末）某校开学初在家乐福超市购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌足球各需多少元？
（2）该校响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌的足球共50个，恰逢家乐福超市对这两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3260元，那么，最多可以购买多少个B品牌足球？
27．（2022·河北邯郸·八年级期末）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
28．（2022·河北保定·八年级期末）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：．
．
材料2：为了研究字母x和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x





0
1
2
3
4







无意义
1
0.5

0.25

请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：
__________________；___________________；
（2）当时，随着x的增大，分式的值___________（增大或减小）；
（3）当时，随着x的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
29．（2022·河北廊坊·八年级期末）截至2021年6月10日，我国新冠疫苗接种总剂次数为全球第二．某社区有A、B两个接种点，A接种点有5个接种窗口，B接种点有4个接种窗口．每个接种窗口每小时的接种剂次相同．当两接种点独立完成2000剂次新冠疫苗接种时，A接种点比B接种点少用5小时．
（1）求A、B两个接种点每小时接种剂次；
（2）设A、B两个接种点一共工作100小时，要完成9600剂新冠疫苗接种任务，至少要安排A接种点工作多少小时？

参考答案：
1．D
【解析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
2．B
【解析】根据分式有意义的条件进行判断即可．
A项当x=±1时，分母为0，分式无意义；
B项分母x2+1恒大于0，故分式总有意义；
C项当x=0时，分母为0，分式无意义；
D项当x=1时，分母为0，分式无意义；
故选：B．
本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键．
3．D
【解析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
4．C
【解析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可．
解：①，计算正确；
②，计算正确；
③，计算错误；
④，计算错误；
故选C．
本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．C
【解析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
6．C
【解析】用总车费除以人数得每人分摊的车费数，两者相减，利用分式的通分进行加减并化简即可．
解：∵原来参加旅游的同学共有x人时，每人分摊的车费为元，
又增加了两名同学，租车价不变，则此时每人分摊的车费为元，
∴每个同学比原来少分摊元车费：
故选：C．
本题考查了列分式并进行分式的加减计算，掌握利用通分方法进行分式的加减计算是解题的关键．
7．D
【解析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
8．B
【解析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解：方程去分母得，，
解得，，
当分母即时方程无解，
也就是时方程无解，
则，
故选：B．
本题考查了分式方程无解的条件．注意：分式方程无解分两种情况①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．
9．A
【解析】根据题目中的等量关系列出分式方程即可．
解：设江水的流速为x千米/时，
．
故选：A．
本题主要考查分式方程的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出顺水和溺水对应的时间，找出合适的等量关系，列出方程即可．
10．C
【解析】该书店第一次购进x套，则第二次购进（x+50）套，根据两次进价相同列出方程．
设该书店第一次购进x套，由题意得：

故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．2
解：由分式的值为0时，分母不能为0，分子为0，可得2x-4=0，x+1≠0，
解得x=2，
故答案为：2．
12．     x2﹣2x,     分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【解析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x．
∵x2-4=（x+2）（x-2），
∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x，
依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.
13．11
【解析】将等式的两边同时平方，进而即可求得答案．
解：，
，
即，
11，
故答案为：11.
本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是关键．
14．-6
【解析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，此时分母是ab，分子是a2+b2，运用完全平方公式将其变形为（a+b）2-2ab，最后把已知条件代入即可．
∵ab=-1，a+b=2，
∴．
故答案为：-6．
分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等．
15．
【解析】先计算括号内的减法，将除法化为乘法，给各项能因式分解的因式分解，再约分即可．
解：原式=
=．
故答案为：．
本题考查分式的混合运算．注意运算顺序和运算法则．
16．或
【解析】先解分式方程，当时，可得再根据为正整数，且 为整数，逐一分析可得答案.
解： ，


当时，
为正整数，且 为整数，
是的因数，


当时，
当时，，舍去，
当时，
当时，，舍去，
所以的值为：或，
故答案为：或
本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
17．
【解析】已知路程和时间差，速度已用未知数表示，用路程和速度表示出时间，根据时间差列方程即可．
由题意可得，从A开往B地：
大汽车所需时间为，
小汽车所需时间为，
由于大汽车比小汽车晚到30min，
则列方程为．
故答案为：．
本题考查分式方程的实际应用，解决本题的关键是掌握路程、时间、速度三者之间的关系．
18．          400
【解析】（1）分析出等量关系，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，以及结果提前15天完成任务，根据等量关系列出方程即可；
（2）解出分式方程，即可算出实际施工时每天铺设钢轨的长度．
解：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际施工时每天铺设的长度为2x米，得：

解得x=200，
经检验：x=200是原方程的解，
实际施工时每天铺设钢轨的长度：2x=2×200=400米，
故（1）答案为：；
（2）答案为：400．
本题考查了分式方程的应用题，根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
19．(1)- (2)-
【解析】（1）根据分式的乘除法则依次计算即可；
（2）先把分式通分后再约分即可
解：（1）原式=•（﹣）•
=﹣；
（2）原式=﹣
=
=﹣
20．1﹣x，原式＝.
【解析】先利用分式的加减乘除运算对分式进行化简，然后把x的值代入即可.
原式＝



当x＝1﹣时，
∴原式＝1﹣（1﹣）＝；
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的顺序和法则是解题的关键.
21．（1）7；（2）
【解析】（1）根据负指数及零次幂可进行求解；
（2）先去括号，然后对分子分母进行化简，最后求解即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式：
．
本题主要考查零次幂、负指数幂及分式的运算，分式的混合运算，熟练掌握零次幂、负指数幂及分式的运算法则是解题的关键．
22．
【解析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
23．（1）a﹣1，99；（2）x＝2．
【解析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得；
（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．
解：（1）原式＝•
＝a﹣1，
当a＝100时，
原式＝100﹣1＝99；
（2）方程两边同乘x﹣1，得2x＝1+3（x﹣1），
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
∴x＝2是原方程的解．
本题考查分式的混合运算与解分式方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意解分式方程需要检验．
24．（1）；（2）；-4048
【解析】（1）去分母将分式方程转化为整式方程 解得 经检验即可；
（2）由且，可得且，求出 ，将分式通分后利用乘法约分化简为最简分式 ，把m代入求值即可 ．
（1）解：去分母得 ，
解得 ，
经检验是原方程的解 ，
∴原方程的解是；
（2）解：由且得，
，
，，
，         
原式＝


，
把代入得，
原式＝＝-4048．
本题考查分式方程的解法，分式值为零求出条件，化简分式求值，掌握分式方程的解法，分式值为零求出条件，化简分式求值的步骤是解题关键．
25．(1)
(2)

【解析】（1）方程两边都乘以x（x+2）得出方程2(x+2)=3x，求出方程的解，再代入x（x+2）进行检验即可；
（2）方程两边都乘以（x2-1）得出(x+1)2+4=x2−1，求出方程的解，再代入（x2-1）进行检验即可．
（1）
解：去分母得2（x+2）=3x，
去括号得2x+4=3x，
移项、合并同类项得x=4，
检验：当x=4时，x（x+2）≠0，
∴原分式方程的解为x=4；
（2）
解：去分母得（x+1）2+4=x2-1，
去括号得x2+2x+1+4=x2-1，
移项、合并同类项得2x=-6，
系数化为1得x=-3，
检验：当x=-3时，x2-1≠0，
∴原分式方程的解为x=-3．
本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式分式，注意解分式方程一定要进行检验．
26．（1）A品牌足球50元，B品牌足球80元；（2）31个．
试题分析：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题．
解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，由题意得
=×2
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解，
x+30=80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数，
∴a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

27．（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【解析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．
28．（1），；（2）减小；（3）2，理由见解析
【解析】（1）把分子写成分母的倍数与另一个整式的和，再逆用分式的加减法则即可得到解答；
（2）把变成，再根据 随x的变化趋势可以得解；
(3)先得，然后根据随着x的值的增大， 的值逐渐减小并趋于0可以得到解答．
解：（1）∵,
故答案为；
（2）∵，且由材料2可得： x>0时， 随x的增大而减小，
∴当 x>0 时，随着x的增大，分式的值减小；
（3）2
理由如下：
，
随着x的值的增大，的值逐渐减小并趋于0，
∴随着x的值的增大，的值无限趋近于2.
本题考查分式运算的规律探索，根据材料得到一定规律并灵活运用于所给问题的解决是解题关键．
29．（1）A接种点每小时接种100剂次，B接种点每小时接种80剂次；（2）至少要安排A接种点工作80小时．
【解析】（1）设每个接种窗口每小时的接种x剂次，则A接种点每小时接种5x剂次，B接种点每小时接种4x剂次，由题意：两接种点独立完成2000剂次新冠疫苗接种时，A接种点比B接种点少用5小时．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排A接种点工作m小时，安排B接种点工作(100-m)小时，由题意：A、B两个接种点一共工作100小时，要完成9600剂新冠疫苗接种任务，列出一元一次不等式即可．
解：（1）设每个接种窗口每小时的接种x剂次，则A接种点每小时接种5x剂次，B接种点每小时接种4x剂次，
由题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则4x＝80，5x＝100，
答：A接种点每小时接种100剂次，B接种点每小时接种80剂次；
（2）设安排A接种点工作m小时，安排B接种点工作(100-m)小时，
由题意得：，解得：，
答：至少要安排A接种点工作80小时．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，找准数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键