专题01 集合与常用逻辑用语 （亮点讲）

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1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（2）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【温馨提示】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
5.充分条件、必要条件与充要条件的概念
6.全称量词命题和存在量词命题
【温馨提示】
1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

常考题型
1.集合的含义与表示：
【例题1】已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【自我提升】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2.集合的特征：
【例题2】若，则实数a的取值集合为______．
【自我提升】知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
3.集合的关系：
【例题3】集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋1，n∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝m＋\f(1,2)，m∈Z))))，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N C．M⊆N D．N⊆M
【自我提升】已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
4.集合的运算：
【例题4-1】已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【例题4-2】已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
【例题4-3】已知集合，则（ )
A． B． C．D．
【例题4-4】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】1.已知全集集合，则（ ）
A．B．C．D．
2. 已知集合，，则（ ）
B． C． D．
3. 已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
5.集合的综合应用：
【例题5-1】设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
【例题5-2】设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
6.充分条件与必要条件及其应用：
【例题6-1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题6-2】已知两条直线m，n和平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【自我提升】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题6-3】已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【自我提升】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【例题6-4】设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
7.全称量词与存在量词命题及应用：
【例题7-1】已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【例题7-2】已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【自我提升】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例题7-3】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
B. C. D.
【自我提升】若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例题7-4】若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．
1. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2. 已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
3. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4. 设函数的定义域为，函数的定义域为，则=（ ）
A． B． C． D．
5. 设集合，则的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
6. 已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7. 已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8. 若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9.下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
10.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有q(x)成立
存在M中的一个x，使p(x)成立
简记
∀x∈M，q(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，非q(x)
∀x∈M，非p(x)
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有