专题03 函数概念与基本初等函数（亮点讲）

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一、基本概念与函数的性质
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
二、基本初等函数及应用：
（一）幂函数与二次函数:
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
O
图2-9
O
图2-8
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【温馨提示】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
(二)指数与指数函数：
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数
【温馨提示】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
（三）对数与对数函数：
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【温馨提示】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
三、函数的图象：
（一）掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
（二）函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称.
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
【温馨提示】
(1)若恒成立，则的图像关于直线对称.
(2)设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称.
(3)若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称.
(4)函数与函数的图象关于直线对称.
(5)函数与函数的图象关于直线对称.
(6)函数与函数的图象关于点中心对称.
(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.
常考题型
1.函数的概念：
【例题1-1】下列对应关系是函数的为________.（填序号）
（1）x→x2，x∈R；
（2）x→y，其中y2＝x，x∈（0，＋∞），y∈R；
（3）t→s，其中s＝，t≠1，t∈R.
【自我提升】列集合、及其对应法则不能构成函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【例题1-2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2 D．f（x）＝和g（x）＝
【自我提升】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【例题1-3】（1）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
（2）函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
（3）已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A.(－1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) C.(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
【自我提升】求下列函数的定义域：
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝(x－1)0＋.
（4）
【例题1-4】已知，则_________．
【例题1-5】求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【例题1-6】（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知，求；
（3）已知，求f（x）的解析式．
【自我提升】根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
【例题1-6】（多选题）下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝
C．f（x）＝D．f（x）＝
【自我提升】设若，则________．
2.函数的单调性与最值：
【例题2-1】定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0
时，00，b>0).
（3）.
【自我提升】化简，得
A．B．C．D．
【例题7-2】若为方程x2－3x＋a＝0的两根，则________．
【例题7-3】判断下列各数的大小关系：
（1）与； （2）
（3）22.5，(2.5)0， （4）与
【例题7-4】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
8.对数与对数函数：
【例题8-1】计算：（1）；
（2）.
【自我提升】计算：（1）；（2）．
【例题8-2】在中，实数的取值范围为______.
【例题8-3】已知，试用表示．
【自我提升】已知，，试用，表示
【例题8-4】求下列各式中的的值：
（1）；
（2）．
【自我提升】方程的解为 ．
【例题8-5】对于函数.
（1）当时，函数，求函数的定义域；
（2）若的值域为，求实数的值构成的集合.
【自我提升】函数的值域为，则实数的取值范围为______．
9. 函数的图象：
【例题9-1】函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【自我提升】在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例题9-2】已知函数.
(1)证明是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数的值域.
【自我提升】根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【例题9-3】知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
【自我提升】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)画出函数的图象，并讨论方程的解的个数.
【自我提升】函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
【自我提升】已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
1. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
2.下列各组方程中表示相同曲线的是（ ）
A．y=x，B．|x|=|y|，x2=y2
C．，D．y=x，
3. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4. 函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
5. 已函数，则（ ）
A．1B．2C．D．3
6. 已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）．
A．B．C．D．
7. 函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
8. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9. 代数式有意义，则（ ）
A．B．C．D．
10.已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
11.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
12. 设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
13.已知，则的值为____．
14.函数的值域为________________．
15.若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .
16.如果 ，则的取值范围是___________．
17.已知（a，b为实数），，则______．
18.设二次函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
19.已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
20.已知的定义域为的定义域为，求.
21.已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，
（1）当时，求；
（2）设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出y=f（x）的图象；
（3）若△APB的面积不小于2，求x的取值范围.
23.已知函数.
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式.
24.已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
25.已知定义在，上的奇函数是增函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若（2），解不等式．
26.已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
27.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
28.已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
29.已知
（1）求的值；
（2）求的值.概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量取值的范围
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D
如果对任意x1，x2∈I，当x1