专题04 导数及其应用（亮点讲）

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专题04 导数及其应用
知识回顾
一、导数的概念及运算：
1.导数的概念
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .

(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.
2.导数的几何意义
(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【温馨提示】求切线方程：求曲线过点的切线方程的方法：
1、当点是切点时，切线方程为；
2、当点不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标；
第二步：写出过点的切线方程为；
第三步：经点代入切线方程，求出的值；
第四步：将的值代入可得过点的切线方程.
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；
(3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(logax)′＝；
(5)(sin x)′＝cos x；(6)(cos x)′＝－sin x；
(7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝.
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为：
h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.
二、导数与函数的单调性：
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【温馨提示】1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
2. (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)
在(a，b)上单调递增；如果f′(x)0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)f(x)max或a0(f′(x)