专题06 平面向量及应用（亮点练）

专题06 平面向量及应用

1. 下列命题中正确的是（    ）

A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同

B．在中，必有

C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点

D．若，均为非零向量，则与一定相等

2.在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ）

A． B． C． D．

3. 如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

4. 已知平面向量，，满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

5. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（    ）

A． B． C． D．

6. 已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则(      )

A．  B．

C．  D．

7. 如图所示，已知正方体的棱长为1，则（    ）．

A． B．2 C． D．1

8. 在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

9.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．

10.在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________．

11.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．

12.如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.

一．   单选题：

1. 若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2. 如图，在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

3. 在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则：

①；

②；

③；

 ④．

上述结论中，正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④

4. 如图，是⊙的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

5. 如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．

7. 若，，下列正确的是（       ）

A． B．

C．方向上的投影是 D．

8. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题：

1. （多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（    ）

A．向量的模相等 B．

C．向量共线 D．

2. 已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（    ）

A．2， B．−3，

C．2， D．−3，

3. 等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4. 设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（    ）

A．给定向量，总存在向量，使；

B．给定向量和，总存在实数和，使；

C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．

5. 在△中，，则（   ）

A． B．

C． D．

6. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：

1. 已知，且，，则________.

2. 在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．

3. 已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，，．给出下列五个命题：①；②；③；④；⑤．其中正确的命题是________．（填序号）

4. 已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______．

5. 已知平面向量、满足，则的最大值为________．

6. 已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．

四、解答题：

1. 如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.

2. 在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．

（1）求在上的投影向量；

（2）求在上的投影向量．

3. 在中，中线.

（1）若，求证：；

（2）若P为中线AM上的一个动点，求的最小值.

4. 已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足.

(1)求角的值；

(2)若，，边AB上的中点为D，求CD的长度.

5. 已知平面向量，满足：，，.

(1)求与的夹角；

(2)求向量在向量上的投影.

6. 已知向量，，函数．

(1)求函数在上的值域；

(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．

1．【2022·全国·高考真题】已知向量，若，则（       ）

A． B． C．5 D．6

2．【2022·全国·高考真题】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

3．【2022·全国·高考真题】已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．【2022·全国·高考真题（理）】已知向量满足，则（       ）

A． B． C．1 D．2

5．【2021·浙江·高考真题】已知非零向量，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

6.【2020年全国3卷理科06】已知向量a，b满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．【2020年山东卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A． B．

C． D．

8．【2020年海南卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A． B．

C． D．

9．（多选题）【2021·全国·高考真题】已知为坐标原点，点，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

10.【2021·天津·高考真题】在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

11．【2021·北京·高考真题】已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则

________；________.

12.【2022·全国·高考真题（理）】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

13．【2022·全国·高考真题（文）】已知向量．若，则______________．

14.．【2022·上海·高考真题】在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________

15．【2021·全国·高考真题】已知向量，，，_______．

16．【2021·全国·高考真题（理）】已知向量，若，则__________．

17．【2021·全国·高考真题（文）】若向量满足，则_________.

18．【2021·全国·高考真题（理）】已知向量．若，则________．

19．【2021·全国·高考真题（文）】已知向量，若，则_________．

20.【2020年全国1卷理科14】设为单位向量，且，则______________.

21．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.