专题08 立体几何（亮点讲）

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专题08 立体几何
知识回顾
知识回顾
一、空间几何体的有关概念
1．空间几何体
对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．例如，一个正方体形包装箱，占有的空间部分就是一个几何体，这个几何体就是我们熟悉的正方体．
2．多面体
（1）多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．
（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面ABB′A′，面BCC ′B′等．
（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 如图中棱AA′，棱BB′等．
（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点， 如图中顶点A，B，C等．

3．旋转体
（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体．如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成．
（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线．如图中直线OO′是该旋转体的轴．

二、常见几何体的公式：
1.体积公式：
柱体：，圆柱体：。
斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）；
锥体：， 圆锥体：,
台体：
圆台体： , 球体：。
正方体的体积 ；正方体的体积 .
2.侧面积：
直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；
正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：；
圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，
圆台侧面积：，球的表面积：。
3.几个基本公式：
弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；扇形面积公式：；
圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：；
圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；
球面上两点间的距离公式：。
4.几何体的表面积：
圆柱的表面积 ；圆锥的表面积 ；圆台的表面积
球体的表面积 .
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
5.求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
三、直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间.
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
（5）画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
四、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
2.平面的基本性质
1）三个基本事实：
（1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
2）三个推论
（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

【温馨提示】对三个基本事实的理解
（1）对于基本事实1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是基本事实2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
五、空间点、直线、平面之间的位置关系
（一）异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
（二）空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
① 直线在平面内——有无数个公共点；
② 直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③ 直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
（三）平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
六、空间直线、平面的平行
（一）基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；
（2）证明，；
（3）得到．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．

图（1） 图（2）
（二）直线与平面平行的判定定理
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言

符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
（三）平面与平面平行的判定定理
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言

符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
【微点拨】
1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．
2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．

（四）直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．

（3）符号语言：．
（4）直线与平面平行的性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
（五）平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．

（3）符号语言：
【微点拨】
1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
2．应用该定理证明线线平行．
（六）两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
七、空间直线、平面的垂直
（一）直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言

符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是．
（二）平面与平面垂直的判定
1．二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
图示

二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角
图示

符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角．

【微点拨】（1）二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．
（2）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
（3）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作．
（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．

3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言

符号语言
l⊥α，⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直
【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．
（三）直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言

作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
【微点拨】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
直线与平面垂直的性质
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
（四）平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号
语言

图形
语言

作用
证明直线与平面垂直
【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
垂直关系之间的相互转化

常考题型
1.常见几何体的结构特征：
【例题1-1】下列几何体中棱柱有(　　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例题1-2】(多选题)下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱
【例题1-3】下列说法中正确的个数是（ ）
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球面上任意两点的连线是球的直径；
③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
A．0 B．1 C．2 D．3
【例题1-4】如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（ ）

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【例题1-5】如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．

【例题1-6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．



【例题1-7】如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）

A． B． C． D．
【自我提升1】下列关于棱台的说法中正确的个数为（ ）
①所有的侧棱交于一点；②只有两个面互相平行；
③上下两个底面全等；④所有的侧面不存在两个面互相平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【自我提升2】关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．
【自我提升3】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；
C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
D．球是与定点的距离等于定长的所有点的集合．
【自我提升4】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是

A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱
【自我提升5】下列关于简单几何体的说法中正确的是（ ）
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面．
A．①② B．③④ C．④ D．②④
2.空间几何体的直观图：
【例题2-1】用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.

【例题2-2】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【例题2-3】如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．

【例题2-4】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【例题2-5】用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 （ ）
A． B． C． D．
【自我提升1】若一个平面图形的直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升2】如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A． B． C． D．
【自我提升3】画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
3.空间几何体的表面积与体积：
【例题3-1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3-2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
【例题3-3】用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
【例题3-4】求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．
【例题3-5】如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：

（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．
【例题3-6】圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.
【例题3-7】如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长.

【例题3-8】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）.

【例题3-9】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

【例题3-10】如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.

【例题3-11】如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【例题3-12】长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π
C．14π D．16π
【例题3-13】若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【例题3-14】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例题3-15】轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
【例题3-16】已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升1】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升2】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【自我提升3】半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【自我提升4】若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．14
【自我提升5】已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（ ）
A．600π B．300π C．900π D．450π
【自我提升6】一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【自我提升7】有一个无盖正三棱柱铁质容器，棱长均为6，将容器注满水.现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深度恰为四分之一直径，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4.平面：
【例题4-1】用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
【答案】(1)；
(2)平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)点M平面，点M直线l.
【例题4-2】如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.

（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
【例题4-3】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：

（1）、、、四点共面；（2）与的交点在直线上．
【例题4-4】在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上
【例题4-5】如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

【例题4-6】如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．

【自我提升1】下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点
【自我提升2】如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是

A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 三点共线 D． 三点共线
【自我提升3】在空间四边形中，点E，F，G，H分别在，，，上，若直线与相交于点P，则点P与直线的关系是___________.
5. 空间点、线、面的位置关系：
【例题5-1】已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【例题5-2】如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为

A． B． C． D．

【例题5-3】下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【例题5-4】已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【自我提升1】如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
【自我提升2】若直线aα，则下列结论中成立的个数是（ ）
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【自我提升3】如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）

A． B． C． D．
【自我提升4】已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
6.空间直线、平面的平行：
【例题6-1】在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【例题6-2】在如图所示的空间图形中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝2a， CD＝a， F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.

【例题6-3】如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D， D1分别在AC， A1C1上，那么当点D在什么位置时，平面BC1D∥平面AB1D1

【例题6-4】如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点.

（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请找出点并证明；若不存在，请说明理由.
【例题6-5】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.

（1）求证：BC//AD；
（2）求证：CE//平面PAB.
【例题6-6】在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）

A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
【例题6-7】已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G．求证：．

【自我提升1】在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
【自我提升2】如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）

A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
【自我提升3】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ）

A．BD1∥GH B．BD∥EF
【自我提升4】如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点，点P在平面内，若直线平面，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
7.空间直线、平面的垂直：
【例题7-1】如图，在中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．

【例题7-2】如图，在正方体中，求证：平面平面．

【例题7-3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【例题7-4】已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为_______________．
【例题7-5】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
【例题7-6】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
【例题7-7】如图，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D－AP－C的正弦值；
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．

【自我提升1】设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，则；②，则；③，，则；④，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【自我提升2】如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（ ）

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【自我提升3】如图，等腰三角形的底边长为2，将沿高折起，记此时的点B为P，若，则的长是______.

【自我提升4】设、、为平面，、、为直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则

【自我提升5】如图所示，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【自我提升6】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P­BC­D的大小．















1. 设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①， ②， ③，，，
④且，，，
A．①② B．②③ C．②③ D．③④
2. 如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）

A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．是棱柱 D．是棱台
3. 下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）

A． B． C． D．1
4. 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）
A． B． C． D．
5. 设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）
A．，，则 B．，，则
C．，，则 D．，，则
6. 如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（ ）

A．与是两条相交直线 B．平面
C． D．，，，四点共面
7. 在正方体中，与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
9.（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）

A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
10.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
11.已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
12.用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.

13.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.
14.如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.

15.一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，画出它的直观图（比例尺为），并计算该棱锥的体积．

16.如图，不共面的四边形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求证：三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．

17.如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证： MN与PQ是异面直线.

18.如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.

（1）证明: ，，.
（2）求的值.
19.在三棱锥中，平面，，，，如图所示．

（1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值．

20.如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.