专题13 计数原理与概率（亮点讲）

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专题13 计数原理与概率
知识回顾
一.计数原理：1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理


基本形式
一般形式
区别
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法
【温馨提示】分类应满足：不重不漏； 分步必须注意：步与步间的连续性
2. 与两个计数原理有关问题的解题策略
（1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.
（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.
3. 应用分类加法计数原理应遵循的两原则
（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.
二.排列组合：
1. 排列:从个不同的元素中取出个()元素并按一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
（1）排列数: 从个不同的元素中取出个()元素的所有排列的个数.用符号表示.
（2）排列数公式：（）.特别地：，.
2. 解决排列问题常用的方法
(1)特殊元素优先法
对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素．
(2)特殊位置优先法
对于特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊位置，再考虑其他位置．
(3)相邻问题捆绑法
对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列．
(4)不相邻问题插空法
对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端的空隙即可．
3. 组合：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
（1）组合数: 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，用表示.
（2）组合数公式: .
（3）组合数的性质：①．规定：； ②＝+ .
4.组合问题的常见类型与处理方法：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.
【温馨提示】1.排列与组合的概念
名称
定义
区别
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合
合成一组

2.排列数与组合数

定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示
C＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
3. .排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.
①不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
②对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
三.二项式定理：
1. 二项式定理及基本概念：

（1）二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.
（2）二项式系数:展开式中各项的系数.
（3）项数：共项，是关于与的齐次多项式.
（4）通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示.
①项数：展开式中总共有项。
②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
2.“杨辉三角”与二项式定理的性质：
（1）二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，
（它反映了组合数的性质：），直线 将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
（2）二项式系数和：令,则二项式系数的和为
，
变形式。
（3）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，
从而得到：
（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和：

（5）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。
3.常用结论：
令
令
令,则二项式系数的和为，
变形式.
【温馨提示】1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k，
如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
3.解题技巧与方法总结
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
4.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．
5. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.
6. 运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
提醒:逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是的形式. 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．
四.随机事件与古典概型：
1.频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数❶，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率❷.
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.
2.事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)
事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)❸
A∪B(或A＋B)
交(积)
事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥❹
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件❺
A∩B＝∅，
P(A∪B)＝1

3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).
频数是一个整数，其取值范围为0≤nA≤n，nA∈N，因此随机事件A发生的频率fn(A)＝的可能取值介于0与1之间，即0≤fn(A)≤1.
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是，频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同.
并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A，B都发生.即事件A，B至少有一个发生.
互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生.
“事件A与事件B是对立事件”是“其概率满足P(A)＋P(B)＝1”的充分不必要条件，这里一定不要认为是充要条件.事实上，若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；反之不一定成立.
4.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称
不同点
相同点
频率计
算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的
概率计算公式
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
5.探究概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，
即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.
五.离散型随机变量及其分布列、均值、方差：
一）随机变量和离散型随机变量
1. “随机试验”的概念
一般地，一个试验如果满足下列条件：
A．试验可以在相同的情形下重复进行．
B．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．
c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。
3．离散型随机变量的定义
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….
4. 随机变量的分类
随机变量有以下两种：
离散型随机变量:
连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．
5. 若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
二）离散性随机变量的分布列
分布列定义：
设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…xn,若取每一个值xi(i=1,2,…，n)的概率为，则称表

x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
2.分布列的性质
离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；
（2）P1+P2+…+Pn=1
3. 离散型随机变量函数及其分布列
一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。
已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数的分布列：
①ξ与η一一对应时，ξ的每个取值的概率就对应着η的每个取值的概率；
②如果ξ有多个取值对应一个η的值，那么这个η值的概率就是这多个ξ值的概率的和。
三）条件概率与全概率：
条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝（变形） (P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③设B和B互为对立事件，则P（ B |A）=1- P（B|A）.
2.条件概率的3种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ .
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
【温馨提示】1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
（5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
（6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．
全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式.
【全概率公式的解析】全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集.
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具.

2.* 贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,
有
【微点拨】全概率也是条件概率.
四）特殊的分布列
1. 两点分布
随机变量 X 的分布列是
ξ
0
1
P


像上面这样的分布列称为两点分布列．
要点诠释：
(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布
(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究
2. 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k｝发生的概率为, 其中，且．
称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布

0
1








五）期望和方差的公式及关系
1..数学期望

2.数学期望的性质
（1）. （2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
3.方差

4.标准差：=.
5.方差的性质
(1)；(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
6.方差与期望的关系：.
六）正态分布：
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.
⑶正态曲线的性质.
① 曲线在x轴上方，与x轴不相交.
② 曲线是单峰的，关于直线对称.
③ 当时曲线处于最高点，即x＝μ处达到峰值，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑦当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是 .
注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有 .比如.则必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通
常用表示，且有.
5.
⑴“3”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
6. 正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
【温馨提示】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．















常考题型
1.计数原理：
【例题1-1】设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（ ）
A．20 B．24 C．12 D．11
【自我提升】如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.

【例题1-2】展开后的不同项数为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【自我提升】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)

【例题1-3】将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为(　　)
A．40 B．28
C．24 D．16
【例题1-4】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．

（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？
（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？
【例题1-5】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
【例题1-6】现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
【自我提升】某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
2.排列组合：
【例题2-1】从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
【例题2-2】用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
【例题2-3】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
（6）全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾．
【例题2-4】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
【例题2-5】若整数满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
【例题2-6】某校足球队有高一学生6人，髙二学生5人，高三学生8人．
(1)若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？
(2)若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？
【例题2-7】将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【例题2-8】判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【自我提升1】由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于（ ）
A．1 543 B．2 543
C．3 542 D．4 532
【自我提升2】计算：______．
【自我提升3】计算：______．
【自我提升4】6个人坐在一排10个座位上，问：
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
3.二项式定理：
【例题3-1】求的展开式．
【例题3-2】已知的展开式中，各二项式系数的和为，则展开式中的第项为________．
【例题3-3】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例题3-4】在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
【例题3-5】若，则（ ）
A． B．4 C． D．
【例题3-6】已知.求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【例题3-7】如图，它满足①第行首尾两数均为，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是______.

【例题3-8】1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)
【例题3-9】已知，求证：能被整除．
【自我提升1】已知．
(1)写出的展开式；
(2)化简．
【自我提升2】在的展开式中，有多少个有理项？
【自我提升3】求的展开式中和的指数相等的项．
【自我提升4】的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
【自我提升5】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【自我提升6】设，则＝________.
4.随机事件、古典概型、事件的相互独立性：
【例题4-1】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（ ）
A．3件都是红色 B．3件都是白色
C．至少有1件红色 D．有1件白色
【例题4-2】从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
【例题4-3】下列事件中不可能事件的个数为（       ）
①抛一块石块下落；
②如果，那么；
③没有水分，种子能发芽；
④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
⑤在标准大气压下且温度低于时，冰融化．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题4-4】有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【例题4-5】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【例题4-6】掷一枚骰子，给出下列事件：
“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.
求：（1），；（2），.
【例题4-7】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【例题4-8】下列有关古典概型的说法中，正确的是（       ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
【例题4-9】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（       ）
A． B． C． D．
【例题4-10】下列各对事件中，为相互独立事件的是（       ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
【例题4-11】已知事件，，且，，则下列结论正确的是（       ）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
【例题4-12】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（       ）

A． B． C． D．
【例题4-13】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶;（2）恰好有一人中靶;（3）两人都脱靶;（4）至少有一人中靶.
【自我提升1】下列事件是随机事件的是（ ）
①当时，；
②当，有解；
③当，关于x的方程在实数集内有解；
④当时，.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【自我提升2】已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（       ）
A．“若，则”是必然事件 B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件 D．“若，则”是必然事件
【自我提升3】已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【自我提升4】从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（       ）
A．“都是红球”与“至少1个红球”
B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”
C．“至少1个白球”与“至多1个红球”
D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”
【自我提升5】抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【自我提升6】记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：
（1）；（2）；（3）.
【自我提升7】同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算以下事件的概率：
(1)至少一枚反面朝上；(2)至少两枚反面朝上；(3)恰好两枚反面朝上．
【自我提升8】2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（       ）
A． B． C． D．
【自我提升9】已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝_______；P()＝_______
【自我提升10】甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求：
（1）甲、乙都解出此问题的概率；
（2）甲、乙都未解出此问题的概率；
（3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率；
（4）至少有一人解出此问题的概率.
5.离散型随机变量的分布列、均值、方差：
【例题5-1】甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛采用三局两胜制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（       ）
A． B． C． D．
【例题5-2】已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.
【例题5-3】分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【例题5-4】北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【例题5-5】学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．


【例题5-6】设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3

求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【例题5-7】列选项中的随机变量不服从两点分布的是（       ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【例题5-8】若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【例题5-9】下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M ④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
【例题5-10】设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
【例题5-11】张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列．
【例题5-12】袋中有3个红球，7个白球．从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分．问平均得几分？
【例题5-13】已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．
ξ＝k
0
1
2
P(ξ＝k)
________
________

【例题5-14】已知随机变量的分布列为：








设，则的数学期望的值是（       ）
A． B． C． D．
【例题5-15】随机变量的概率分布为

0
1





且，则________.
【例题5-16】设随机变量X的概率分布如下表．
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
对题中的随机变量X，分别求：
(1)，，；
(2)，，；
(3)分别考察它们与，之间的关系，你能得到随机变量的均值和方差的哪些性质？
【例题5-17】已知随机变量的分布列为：

0
1
2




则下列说法中正确的是(       )
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值0 D．有最大值
【例题5-18】随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且＞，则期望=___________.
【例题5-19】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A、B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，求的值；
(2)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?请直接写出结论，不必说明理由．
【例题5-20】在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【例题5-21】各国医疗科研机构都在研制某种病毒疫苗，现有G，E，F三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是.求：
（1）他们都研制出疫苗的概率；
（2）他们都失败的概率；
（3）他们能够研制出疫苗的概率.
【例题5-22】某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立．
(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；
(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.
【自我提升1】把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（       ）
A． B． C． D．
【自我提升2】某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【自我提升3】一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（       ）
A． B． C． D．
【自我提升4】袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
【自我提升5】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【自我提升6】某运动员命中10环的概率为0.9，求一次射击中命中10环的次数的分布列．
【自我提升7】已知随机变量，则__________（用数字作答）.
【自我提升8】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)．
【自我提升9】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．
【自我提升10】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【自我提升11】 甲、乙两人采用五局三胜制比赛，即一方先胜三局则比赛结束，甲每场比赛获胜的概率均为，设比赛局数为X.
（1）求的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.


6.正态分布：
【例题6-1】随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【例题6-2】某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是（       ）

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小
C．三科总体的平均数不相同 D．乙科总体的标准差及平均数都居中
【例题6-3】设随机变量，若，则a的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例题6-4】已知随机变量服从正态分布，则（       ）
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
【例题6-5】红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（       ）
A．， B．
C． D．
【例题6-6】一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者要求“利润不低于5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
【自我提升1】正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．最大，最大 B．最大，最大
C．最大，最大 D．最大，最大
【自我提升2】已知随机变量，，则的值为（       ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【自我提升3】在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从(>0)，若在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为（       ）
A．0.2 B．0.15 C．0.1 D．0.05
【自我提升4】赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是（       ）
（1）若出门，则乘坐公交上班不会迟到；
（2）若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；
（3）若出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；
（4）若出门．则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．
参考数据：，则，，
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）
C．（3）（4） D．（4）
【自我提升5】某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为___________.


1. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
2. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
3. 若二项式的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足（ ）
A． B． C． D．
4. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　　）

A．516 B．1132 C．2132 D．1116
5. 已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于（       ）
A． B．
C． D．
6.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（ ）
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
7. 已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(       )
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
9. 已知随机变量服从二项分布，若，，则（       ）
A． B． C． D．
10. 下列说法正确的是（       ）
A．随机变量X服从两点分布，若PX=0=13，则EX=13
B．随机变量X~Bn,p，若EX=30，DX=10，则p=43
C．随机变量X服从正态分布N4,1，且PX≥5=0.1587，则P3 D．随机变量X服从正态分布N3,4，且满足X+2Y=3，则随机变量Y服从正态
分布N0,1
11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，⋯，则下列选项不正确的是（       ）

A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第nn≥5条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第n条斜线上，共有2n+1--1n4个数
D．在第11条斜线上，最大的数是C73
12.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　　　　种．（用数字填写答案）
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝　　　　．
14.（2x+x）5的展开式中，x3的系数是　　．（用数字填写答案）
15.（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝　　　　．
16.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝　　　　．

17.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．
（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；
（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；
（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．
18.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．
19.一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.
（1）求，的分布列；
（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.
20.已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.
(1)求参数，的值．
(2)求．
附：若，则，.