高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式图片课件ppt

课题名

7.2.3  同角三角函数的基本关系式

课标要求

1．理解同角三角函数的基本关系．

2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明.

3．通过学习，提高学生数学运算、逻辑推理的核心素养．

核心目标

重点：同角三角函数的基本关系

难点：三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

新知探究

知识点  基本关系式

 1．平方关系：＋＝____，即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.

2．商数关系：tan α＝__________，即同一个角α的正切等于它的正弦、余弦的商．

核心目标检验

1．判断正误

(1)tan 90°＝.  (　　)

(2)当角α的终边与坐标轴重合时，＋≠1.   (　　)

(3)当sin α＝时，cos α＝.                       (　　)

(4)由于平方关系对任意角都成立,故＋＝1也成立．   (　　)

(5)当α≠kπ＋，k∈Z时，＝.         (　　)

2．已知sin α＝，cos α＝，则tan α等于           (　　)

      A.　　   　 B.　　　

      C.　　　 D.

解析： tan α＝＝＝.

3．化简的结果是________．

解析：因为0<π/5<π/2，所以cos π/5>0.所以 ＝ √cos^2π/5＝cosπ/5 .

命题讲练

命题方向1：给值(角)求值问题

基本关系式的变形公式

＋＝1⇒

     tan α=⇒

例题1:已知cos α＝－3/5，求sin α，tan α的值．

[解]　∵cos α＝－3/5＜0，∴α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝√1−cos^2α＝ √1−(−3/5)^2＝4/5，tan α＝sinα/cosα＝－4/3；

当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，

∴sin α＝－√1−cos^2α＝－ √1−(−3/5)^2＝－4/5，tan α＝sinα/cosα＝4/3.

已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤

第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；

第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；

第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值．　

跟踪练习1:

1．已知sin φ＝－3/5，且|φ|＜π/2，则tan φ＝             (　　)

A．－4/3　　　　B.4/3

C．－3/4         D．3/4

解析：∵sin φ＝－3/5，∴cos^2φ＝1－sin^2φ＝1－(−3/5)^2＝16/25，

又|φ|＜π/2，即－π/2＜φ＜π/2，

∴cos φ＝4/5，从而tan φ＝sinφ/cosφ＝−3/5/4/5＝－3/4.

2．若sin A＝4/5，且A是三角形中的一个角，求5sinA+8/15cosA−7的值．

解：因为sin A＝4/5>0，所以角A为锐角或钝角．

当A为锐角时，cos A＝√1−sin^2A＝3/5，所以原式＝5×4/5+8/15×3/5−7＝6；

当A为钝角时，cos A＝－√1−sin^2A＝－3/5，所以原式＝5×4/5+8/15×(−3/5)−7＝－3/4.综上可知，5sinA+8/15cosA−7的值为6或－3/4.

命题方向2:三角函数式的化简

例题2（1）化简2sin^2α−1/1−2cos^2α＝________.

[解析]　(1)原式＝2sin^2α−1/1−2(1−sin^2α)＝2sin^2α−1/2sin^2α−1＝1.

（2）化简sinα/1−cosα·√tanα−sinα/tanα+sinα.(其中α是第三象限角)

(2)原式＝sinα/1−cosα·√sinα/cosα−sinα/sinα/cosα+sinα＝sinα/1−cosα∙√1−cosα/1+cosα

＝sinα/1−cosα·√(1−cosα)^2/1−cos^2α＝sinα/1−cosα·1−cosα/|sinα|.

       又因为α是第三象限角,所以sin α＜0,所以原式＝sinα/1−cosα·1−cosα/−sinα＝－1.

三角函数式化简的常用方法

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin^2α+cos^2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

跟踪练习2：化简下列各式：

(1) √(1−tanθ)cos^2θ+(1+1/tanθ)sin^2θ.

解：(1)原式＝√cosθ−sinθ/cosθcos^2θ+sinθ+cosθ/sinθsin^2θ

＝√cos^2θ−sinθcosθ+sin^2θ−sinθcosθ

＝√cos^2θ+sin^2θ＝1.

(2)2sin^4x+2cos^4x/2sin^2xcos^2x−1.

解：(2)原式＝2(sin^2x+cos^2x)^2−4sin^2xcos^2x/2sin^2xcos^2x−1

                ＝2−4sin^2xcos^2x/2sin^2xcos^2x−1＝－2.

命题方向3:三角函数式的证明

例题3:求证：tanαsinα/tanα−sinα＝tanα+sinα/tanαsinα.

[证明]　法一：∵右边＝tan^2α−sin^2α/tanαsinα(tanα−sinα)

＝tan^2α−tan^2αcos^2α/tanαsinα(tanα−sinα)

＝tan^2α(1−cos^2α)/tanαsinα(tanα−sinα)

＝tan^2αsin^2α/tanαsinα(tanα−sinα)

＝tanαsinα/tanα−sinα＝左边，

∴原等式成立．

[证明]　法二：∵左边＝tanαsinα/tanα−tanαcosα＝sinα/1−cosα，

右边＝tanα+tanαcosα/tanαsinα

＝1+cosα/sinα＝1−cos^2α/sinα(1−cosα)

＝sin^2α/sinα(1−cosα)

＝sinα/1−cosα，

∴左边＝右边，原等式成立．

证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．

(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．

(4)变更命题法，如要证明a/b＝c/d，可证ad＝bc或证d/b＝c/a等．

(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．　　

跟踪练习3:

1．求证：(1)1＋tan^2α＝1/cos^2α；

(2)1+2sinαcosα/sin^2α−cos^2α＝1+tanα/tanα−1.

证明：(1)∵左边＝1＋sin^2α/cos^2α

＝sin^2α+cos^2α/cos^2α

＝1/cos^2α＝右边，

 ∴1＋tan2α＝1/cos^2α.

证明：(2)左边＝sin^2α+cos^2α+2sinαcosα/sin^2α−cos^2α

＝sin^2α+cos^2α+2sinαcosα/cos^2α/sin^2α−cos^2α/cos^2α

＝tan^2α+2tanα+1/tan^2α−1

＝(tanα+1)^2/(tanα+1)(tanα−1)

＝1+tanα/tanα−1＝右边，

故等式成立．

思想方法随堂练习

1．下列各式中成立的是                          (　　)

A．sin^2α＋cos^2β＝1 B．tan α＝sinα/cosα(α任意)

C．cos^2α/2＝1－sin^2α/2       D．sin α＝√1−cos^2α

解析：A中不是同角；B中α≠kπ＋α/2(k∈Z)；D中符号不能确定；只有C正确．

2．已知α∈[π/2,5π/2]，cos α＝4/5，则tan α＝             (　　)

A．±3/4　　　　　  B.3/4

C．－3/4             D.4/3

解析：因为cos α＝4/5，且α∈[π/2,5π/2]，

所以sin α＝±3/5，所以tan α＝＝±3/4.

3．已知cos α－sin α＝－1/2，则sin αcos α的值为________．

解析：∵cos α－sin α＝－1/2，  ∴(cos α－sin α)2＝1/4，

即1－2sin αcos α＝1/4.   ∴sin αcos α＝3/8.

4．已知sin α＝1/4，且α∈(π/2,π)，则sin α－2cos^2α＝______.

解析：由已知得cos α＝－√1−(1/4)^2 ＝－√15/4，

所以sin α－2cos2α＝1/4－2×(−√15/4)^2＝－15/8.

5．已知tan θ＝√1−a/a (0<a<1)，化简：sin^2α/a+cosα＋sin^2α/a−cosα.

解：因为tan θ＝√1−a/a ，所以sin^2α/cos^2α＝1−a/a＝1/a－1，所以a＝cos^2α， 

      所以sin^2α/a+cosα＋sin^2α/a−cosα

＝2asin^2α/a^2−cos^2α

＝2cos^2αsin^2α/cos^4α−cos^2α

＝2cos^2αsin^2α/cos^2α(cos^2α−1)

＝2cos^2αsin^2α/−sin^2αcos^2α＝－2.

6．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝√3−1/2，则tan θ的值为________．

解析：∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－√3/4<0，∴θ∈(π/2,π)，

 由sin θ＋cos θ＝√3−1/2>0可得sin θ>－cos θ，即|sin θ|>|cos θ|，故θ∈(π/2,3π/4)，则tan θ<－1，∴tan θ＝－√3.

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