2022-2023学年山东省威海市文登区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市文登区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列代数式变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    下列多项式，，，，能用公式法因式分解的有个(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列从左到右变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.    若分式中、均扩大为原来的倍，分式的值也可扩大倍，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    为迎接建党一百周年，某班名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数

7.    在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是(    )

A. 众数是 B. 方差是 C. 平均数是 D. 中位数是

8.    已知，，为的三边长，且满足，则的形状是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

9.    若关于的方程有解，则应满足(    )

A.  B.  C. 且 D. 不存在

10. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，周长为，面积为，请计算的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知数据，，的方差是，则，，，的标准差为______．
12. 若，则______．
13. 某校在五四青年节期间组织开展了一次“激扬青春，放飞梦想”为主题的演讲活动，该校随机从中抽取了名演讲者的成绩制成统计图，这组数据的中位数是______．

14. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
15. 若，则代数式的值为______．
16. 已知，，，那么代数式的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    因式分解：
    ；
    ；
    ；
    ．
18. 本小题分
    计算：
    ；
    ；
    ．
19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简，然后从，，三个数中选一个你喜欢的数代入求值．
21. 本小题分
    为了解某区域甲、乙两个公司外卖员的收入情况，某调查小组从这两个公司中各随机抽取名外卖员，收集他们年的收入数据单位：万元，并对数据进行统计，分析．收入用表示，共分成五组：：，：，：，：，：下面给出了部分信息，甲公司外卖员的收入在组的数据为：，，，，，，；乙公司名外卖员的收入是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
    甲、乙公司抽取的外卖员收入统计表

根据以上信息，解答下列问题：
______，______，______．
根据以上数据，你认为甲、乙两个公司，哪个公司的外卖员年收入水平更高？请说明理由写出一条理由即可；
______
若甲公司有外卖员人，乙公司有外卖员人，请估计这两个公司年收入大于等于万元的外卖员总人数．

22. 本小题分
    班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有公里，队伍：从学校出发苏老师因有事情，：从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前分钟到达基地问：大巴与小车的平均速度各是多少？
23. 本小题分
    某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的倍，且两个工程队合做天恰好完成该工程任务．
    甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？
    若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为万元和万元，要使该工程项目总的施工费用不超过万元，则乙工程队至少需要施工多少天？
24. 本小题分
    阅读下面材料，解答后面的问题
    解方程：．
    解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以得：，
    解得：，
    经检验：都是方程的解，当时，，解得：，
    当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，
    原分式方程的解为或上述这种解分式方程的方法称为换元法．
    问题：
    若在方程中，设，则原方程可化为：______ ；
    若在方程中，设，则原方程可化为：______ ；
    模仿上述换元法解方程：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式含有分式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，符合题意；



，符合题意；
，不符合题意；
，不符合题意．
故选：．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：中缺少的条件，
选项的结论不符合题意；
分式的分子与分母同时乘或除以一个不等于的数或整式，分式的值不变，
，选项的结论不符合题意；
，
选项的结论符合题意，
故选：．
利用分式的基本性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
或且，，
解得，
故选：．
根据分式值为零的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
 

5.【答案】 

【解析】解：分式中、均扩大为原来的倍，得到．
分式中、均扩大为原来的倍，分式的值也可扩大倍，
是关于与的代数式，且扩大倍．
A.中与扩大倍，得，那么不符合题意．
B.中与扩大倍，得，那么不符合题意．
C.中扩大倍，得，那么不符合题意．
D.中与扩大倍，得，那么符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表格数据可知，成绩为分、分的人数为人，
成绩为分的，出现次数最多，因此成绩的众数是，
成绩从小到大排列后处在第、位的两个数都是分，因此中位数是，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：．
通过计算成绩为、分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第、位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、、，
所以这组数据的平均数为，众数为，中位数为，
方差为，
故选：．
根据方差的计算公式得出这组数据为、、、、，再利用平均数、众数和中位数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出这组数据，并掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得




，
，
或，
即或，
则为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断的形状．
本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
的系数化为，得．
关于的方程有解，
．
且．
故选：．
先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程以及分式方程的解的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：长方形的边长为、，周长为，面积为，
，，
，




，
，
，
原式

．
故选：．
根据长方形的周长和面积求出和的值，根据完全平方公式的变形得到的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
本题考查了因式分解提公因式法，掌握是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据，，的方差是，
，，，的方差是：，
，，，的标准差为．
故答案为：．
根据方差公式求出这组数据的方差，再进行开方，即可得出答案．
本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知等式变形得：
，
，，，
解得：，，，
则．
故答案为：．
已知等式右边利用完全平方公式化简，再利用多项式相等的条件求出，，的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

13.【答案】分 

【解析】解：这名演讲者的成绩分别为：，，，，，，，，，．
由于这组数按从小到大排列后，第第个数的平均数为，
这组数据的中位数是分，
故答案为：分．
利用中位数的定义排序后确定中位数即可．
本题考查了折线图、中位数等相关知识，掌握中位数的计算办法是解决本题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：，
方程两边同乘以，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
关于的分式方程的解为非负数，，
，
解得，且，
故答案为：且．
根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得的取值范围．
本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
即，





．
故答案为：．
根据已知条件式变形可得，将代数式因式分解，再将代入求解即可．
此题主要考查了因式分解的应用，以及代数式求值的方法，解答此题的关键是注意灵活变形．
 

16.【答案】 

【解析】解：方法一：
，
又由，，，
得：，
同理得：，，
原式．
故答案为：．
方法二：

，


．
故答案为：．
已知条件中的几个式子有中间变量，三个式子消去即可得到：，，，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
本题考查整体代入和因式分解的运用，解题关键是对完全平方公式的灵活运用．
 

17.【答案】解：原式

；
原式
；
原式
；
原式

． 

【解析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式利用平方差公式分解即可；
原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；
原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式


；
原式


；
原式



． 

【解析】先通分，再计算加减即可；
先计算分式的乘法，再计算减法即可；
先计算括号内减法，再计算除法，最后计算加法即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】解：



，
或时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后从，，三个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意选取的数要使得原分式有意义．
 

21.【答案】      乙公司的外卖员年收入水平更高，理由：乙公司的外卖员年收入众数、中位数都大于甲公司的，故乙公司的外卖员年收入水平更高． 

【解析】解：由题意可得，
，
，
乙公司名外卖员的收入中最多，所以，
故答案为：，，；
乙公司的外卖员年收入水平更高，
理由：乙公司的外卖员年收入众数、中位数都大于甲公司的，故乙公司的外卖员年收入水平更高．
故答案为：乙公司的外卖员年收入水平更高，
理由：乙公司的外卖员年收入众数、中位数都大于甲公司的，故乙公司的外卖员年收入水平更高．
人，
答：估计这两个公司年收入大于等于万元的外卖员总人数为人．
根据题意和统计图中的数据，可以得到，，的值；
从中位数和众数可以判断乙公司的外卖员年收入水平更高；
根据整理数据表格中的数据，可以估计这两个公司年收入大于等于万元的外卖员总人数．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以．
答：大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时． 

【解析】根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
 

23.【答案】解：设甲工程队单独完成此项目需天，乙工程队单独完成此项目需天．
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项目需天，乙工程队单独完成此项目需天．
设甲工程队施工天，乙工程队施工天时，总的施工费用不超过万元．
根据题意得：，
解得：．
答：要使该项目总的施工费用不超过万元，乙工程队最少施工天． 

【解析】设甲工程队单独完成此项目需天，乙工程队单独完成此项目需天．由题意：甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的倍，且两个工程队合做天恰好完成该工程任务．列出分式方程组，解分式方程组即可；
设甲工程队施工天，乙工程队施工天时，由甲、乙两队的工作量之和为及总费用不超过万元两个关系进行分析即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】；；
原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以得：
解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解为． 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
和将所设的代入原方程即可；
利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可．
【解答】
解：将代入原方程，则原方程化为，
故答案为；
将代入方程，则原方程可化为
故答案为；
见答案．