2022年河南省商丘市睢阳区中考数学二模试卷（含解析）

2022年河南省商丘市睢阳区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若与互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    据财政部年月日数据显示，“十三五”时期中央财政累计安排亿元，推进义务教育均衡发展和城乡一体化．年，约万名家庭经济困难学生获得生活补助．其中数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    下列计算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    教育部制定颁布中小学教育惩戒规则试行回应了社会关切的教育热点问题，受到了各方面高度关注．某校为了了解学生对中小学教育惩戒规则试行这一规则的了解情况，随机对全校名学生进行调查，则下列说法正确的是(    )

A. 名是样本容量
B. 被抽取的名学生是调查的样本
C. 被抽取的名学生对中小学教育惩戒规则试行的了解情况是调查的样本
D. 全校学生对中小学教育惩戒规试行的了解情况是调查的样本

6.    已知关于的一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7.    点、、在反比例函数的图象上，且，则有(    )

A.  B.  C.  D.

8.    近年来全国的中、高考的有些学科考试中都考查中华优秀传统文化的相关知识，受到社会各界的广泛关注．为了迎接市里举办的传统文化知识竞赛，班主任将全班同学随机分成了、、、四个组进行活动，该班小琦和小颖同学被分在一组的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，在平面直角坐标系中，菱形的边的中点在坐标原点上，，，轴，将菱形绕原点逆时针旋转，点的对应点为点，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在四边形中，，，点为边的中点，动点沿的路线运动，到点时停止．线段的长度与运动时间的函数关系如图所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若，则______请写出一个符合条件的无理数．
12. 若不等式组无解，则的取值范围是______．
13. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，，若，则的度数为______．

14. 如图，在中，，，以为直径作半按以下步骤操作：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交半于点，交于点，则、、所围成的阴影部分的周长为______．
15. 如图，在中，，，，为中点，点在边上，将沿折叠，点的对应点为，若与的一条边平行时，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    ；
    化简：．
17. 本小题分
    年月日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，某校组织学生对火星相关知识学习后，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取名学生，并对成绩百分制进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息说明：数据被分为五组：，，，，；成绩在分及以上为优秀，分为良好，分为合格，分以下为不合格．
    信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：
    信息二：八年级学生成绩在这一组的具体成绩是：
    信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：

根据以上信息，回答下列问题：
根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由至少从两个不同的角度说明推断的合理性；
若九年级有名学生都参加了此次测试，估计九年级学生中成绩达到优秀的有______名；
请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．

18. 本小题分
    长征号已于年月日在海南三亚某军港交接入列，如图，某日长征号艇从点出发沿正东方向巡航，在点处测得岛屿在点的北偏东方向上，航行海里后到达点，测得岛屿在点的北偏东方向上，此时长征号艇与岛屿相距海里．已知岛屿在岛屿的正北方向上，求岛屿，之间的距离．结果保留整数．参考数据：，，，，，．

19. 本小题分
    为丰富学生课外业余生活，某校计划购买，两种羽毛球．已知两种羽毛球的购买信息如表所示：

，两种羽毛球每副的价格分别是多少元？
若学校计划购买，两种羽毛球共副，种羽毛球的数量不超过种羽毛球数量的倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

20. 本小题分
    如图，平行四边形的面积为，轴，，与轴分别交于点，，对角线，的交点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，．
    求反比例函数的解析式；
    点为轴上的点，连接，若为等腰三角形，求满足条件的点的坐标．

21. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点，当时，函数有最大值，点，点关于原点的对称点为，直线与抛物线交于点．
    求抛物线的解析式；
    点是抛物线和直线的上方一动点，若抛物线在直线上方的部分与直线有公共点，求点纵坐标的取值范围．

22. 本小题分
    阅读下面材料，并完成相应的任务

学习任务：
如图，若线段与相交于，两点，且，射线，为的两条切线，切点分别为，，连接．

求证：；
若，，，求的面积．

23. 本小题分
    在中，，，点是直线右侧一点，且，连接将绕点顺时针旋转得到，连接．
    观察猜想
    如图，当时，、、的数量关系是______；
    类比探究
    如图，当时，试判断中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明．
    拓展应用
    如图，在矩形中，，，是的中位线，将绕点在平面内自由旋转，当为直角三角形时，直接写的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
与互为相反数，
．
故选：．
先求出的值，再求它的相反数即可．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万，
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个面，第二列看到两个面，第三列可看到一个面而且前排可看到三面；从左视图来看：第一列有三个面，第二列有一个面．
故选：．
根据主视图和俯视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握主视图和俯视图的定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B错误，符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的方法可以判断；根据积的乘方可以判断；根据单项式除以单项式可以判断；根据平方差公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是样本容量，原说法错误，故本选项不合题意；
B.被抽取的名学生对中小学教育惩戒规则试行的了解情况是调查的样本，原说法错误，故本选项不合题意；
C.被抽取的名学生对中小学教育惩戒规则试行的了解情况是调查的样本，说法正确，故本选项符合题意；
D.被抽取的名学生对中小学教育惩戒规则试行的了解情况是调查的样本，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
根据总体、个体、样本、样本容量的意义进行判断即可．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解总体、个体、样本、样本容量的意义是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
，
又，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
首先根据一元二次方程的定，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
，
点在第二象限，点、在第四象限．
．
故选：．
先判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特征以及增减性解答即可．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，小琦、小颖被分到一组有种情况，
小琦、小颖同学被分在一组的概率是．
故选：．
利用画树状图法列出所有等可能结果，然后根据概率公式进行计算即可求解．
本题考查了列表法与树状图，解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，根据：概率所求情况数与总情况数之比计算是基础．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，点为菱形中边的中点，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，
在中，，，
，
点的坐标为，
故选：．
由菱形的性质求出，由旋转的性质得出，由直角三角形的性质求出及的长，可求出，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点的运动轨迹为，由图象可知最大值为，当时最小值为，
由三角函数可得：，
，
，
，
当点和点重合时，由图象可得，
为等边三角形，．
为中点，
，


．
故选D．
因为点的运动轨迹为，由图象可知最大值为，当时最小值为，由此可得的度数为，则当点和点重合时，由图象可得，由此可得出的长，进而根据不规则图形的面积求解方法，可得出结论．
本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，分析出最大值为，当时最小值为是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以答案不唯一．
先根据绝对值的性质判断出的范围，再根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得，
解不等式，得．
不等式组无解，
，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况可得关于的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，然后利用外角的性质求出，再根据对顶角相等求出即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
由作图可知，平分，
，
，
连接，，，则，
，
，，
的长为，
阴影部分的周长为．
故答案为：．
求出弧长，线段，的长，可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，掌握弧长公式，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
，
为中点，
．
分两种情况：
如图，当时，
由折叠的性质可知，，，
连接交于点，
则垂直平分，

，
，
；
如图，当时，
分别过点作垂直，垂直，垂足分别为点、，
则四边形为矩形，，

为中点，
为的中位线，
，
设为，则，
由折叠的性质可知：，，
，
即，
解得，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：当时，当时，根据翻折的性质进行计算即可解决问题．
本题考查翻折变换折叠问题、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；
先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】 

【解析】解：由信息二可知，八年级成绩众数是；
八年级的中位数是第、位数分别是、，
八年级测试成绩的中位数为，
八年级学生测试成绩达到优秀的有人，优秀率为；
九年级学生测试成绩的中位数、众数、优秀率均大于八年级，
九年级学生的测试成绩更好一些；
人；
即估计九年级学生中成绩达到优秀的有人．
故答案为：；
例如：该校大部分学生对火星知识的测试成绩不理想；建议：该校各学科授课老师要引导学生多加关注我们社会主义建设的新成果，增强爱国主义教育；建议：建议学生多关注我们前沿科技的相关知识．答案不唯一．
求出班级成绩的众数，中位数与优秀率，再与九年级的成绩作比较即可；
利用样本估计总体即可；
根据的数据解答即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：延长交的延长线于点，

根据题意，得，，，海里．
在中，海里，
海里，
海里．
在中，海里，
海里．
答：岛屿、之间的距离约为海里． 

【解析】延长交的延长线于点，根据题意利用锐角三角函数即可解决问题．
此题考查了解直角三角形的应用方向角，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
 

19.【答案】解：设种羽毛球每副的价格为元，种羽毛球每副的价格为元，
根据题意，得，
解得，
答：种羽毛球每副的价格为元，种羽毛球每副的价格为元；
设购买种羽毛球副，则购买种羽毛球副，购买羽毛球的总费用为元．
根据题意，得．
种羽毛球的数量不超过种羽毛球数量的倍，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
是正整数，
当时，有最小值，最小值为此时．
答：当购进种羽毛球副、种羽毛球副时，总费用最少，最少总费用是元． 

【解析】设直拍球拍每副元，横拍球每副元，根据题意列出元次方程组，解方程组即可；
设购买直拍球拍副，则购买种羽毛球副，购买羽毛球的总费用为元根据题意列出费用关于的一次函数，再根据题意列出不等式，解不等式求出的范围，然后根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元次不等式的实际应用及一次函数的应用，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
 

20.【答案】解：轴，轴．点，且平行四边形对角线交于坐标原点，
，，
，
平行四边形的面积为，
，
，．
点．
将点代入，得，
．
反比例函数的解析式为；
在中，根据勾股定理，得当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
当时，若点在轴的负半轴上，则点，若点在轴的正半轴上，则点；
当时，点在的垂直平分线上，如图，
，
，
，
，
∽，
，
点的坐标为；
当时，点在的垂直平分线上，
点的坐标为．
综上可知，点的坐标为或或或． 

【解析】根据平行四边形的性质，反比例函数的对称性求得点，把的坐标代入，利用待定系数法即可求得；
分三种情况讨论：当时，则点，点；
当时，此时，点在的垂直平分线上，通过证得∽，得出，即可求得点的坐标为；
当时，点在的垂直平分线上，则点的坐标为．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用等，求得的坐标以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

21.【答案】解：当时，函数有最大值，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线的解析式为；
，点关于原点的对称点为，
点的坐标为，
直线经过原点，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，
，
解得，，
点的坐标为，
当时，抛物线有最大值，
符合要求的点的纵坐标的最小值应大于，
综上所述：． 

【解析】根据对称轴为直线求出的值，代入解析式即可；
先确定直线的解析式为，然后联立抛物线和直线的解析式求出点的坐标，
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】证明：如图，

，为的两条切线，
，，
，
，即，
，
；
解：如图，过点作于点，

在中，，，
，
，设，则，，
由切割线定理得：，即，
解得：或不符合题意，舍去，
，
的面积．
由切割线定理得出，，由，得出，进而得出，即可证明；
过点作于点，由解直角三角形求出，设，则，，由切割线定理得出，即，解方程求出，进而求出，代入三角形面积公式进行计算即可求出的面积．
本题考查了切线的性质，切割线定理，掌握切割线定理，切线的性质，解直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：当时，，
为等边三角形，
，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，
为等边三角形，
，，，
，
为直角三角形，
，
．
当时，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，
又为等腰直角三角形，
，，，
，
为直角三角形，
，
．
分两种情况：如图，当时，，，

，
，
，
．
如图，当时，

，，
即，
∽，，
，
此时、、三点共线，设为，则，，
在中，，
即，
解得，舍去，
，
综上所述，的长为或．
证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由旋转的性质得出≌，证出，证出为直角三角形，由勾股定理可得出结论；
求出，由旋转的性质得出≌，得出，证出为直角三角形，由勾股定理可得出结论；
分两种情况：如图，当时，，，如图，当时，由直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．