小学数学北师大版六年级上册1 百分数的认识教案

借图形之力，促概念建立

　　　　　　　　　　　——《百分数的认识》教学案例研究

【研究背景】数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系非常密切。把数和形结合起来,能够使抽象的数学知识形象化，形象的图形数学化。用数形结合思想帮助理解算理、数量关系，早已在数学教学中充分重视、应用，并效果不菲。《百分数的认识》是人教版六年级上册第六单元的第一课时，是小学阶段百分数学习的起始，是拓展学生“数”的知识的重要一课。如何转变传统单一的概念建构模式，运用数形结合的方法，有效促进学生对百分数概念的深刻理解和建构呢？我们以“借形助数”为切入口，进行了麿课研究。

第一次试教过程：材料太少——感悟欠深

(片断一：百分数的引入)

师：这是三位队员的投篮成绩，从数学的角度看，你认为谁投篮最准？

（图2）

师：这里的分数和百分数，哪一个能更清晰地看出2号队员投篮最准？为什么？

师小结: 百分数比一般的分数更便于比较。

（片断二：百分数的意义教学）

1、            请学生说说命中率28%的意义。

2、            PPT出示82页情境图中的百分数。

师：这里有许多不同的百分数，请同学们选择一个自己喜欢的，向大家介绍这个百分数的意义。

生答，师引导概括为：

命中率28%：  （投中个数）是（投 篮 总数）的28%。

    电脑软件安装14% ：  （已安装的）是（总数）的14%。

    车辆销售比去年同期增长120%：  （增长的数量）是（去年同期）的120%。

……

引导小结：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数也叫百分率或百分比。

……

3、练习辨析，小结。

【研究者对第一轮实践的评价】

(1)百分数的学习是学生对“数”学习的拓展。为什么要学习百分数，是“概念为本”教学的核心。教学中，能突出概念学习的核心，创设“三个学生投篮研究命中率”的问题情境导入百分数的学习，既符合学生实际，也符合概念为本教学的要求，是必要且有效的。

(2)引入部分用“图表”的形式让学生比较3个队员谁投篮最准，形式简练、清晰，易于学生比较、感受。但三个人物的材料太少，在感受百分数的优越上还不够突出。

（3）探究百分数意义部分的学习材料来源于课本，形式上也作了引导铺垫，可以说，重难点是突出的。但是，这样照本宣科的处理，并没有引导学生真正理解百分数的意义。尤其是“车辆销售比去年同期增长120%”这个百分数的理解就更加困难，许多学生并不能真正理解，对百分数意义的感悟不够深刻。

【采取策略】新课标指出：教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，提供丰富而典型的学习材料。经过老师们的讨论和研究，我们达成了共识：教材是教学的依据，教材提供的情境、材料是有限的。在实际教学中，我们应根据学生实际，灵活、创造性地补充、丰富学习材料。因为，学生形成抽象的数学概念，总是从对具体的学习材料进行充分感知开始的。

基于这个理解，许老师开始了第二次实践：

第二次实践过程：只重形态——理解不透

（片断一：百分数引入）

1、如前所示出示图1，讨论三个队员的投篮情况，引出分数、百分数。

2、师：校篮球队共有10名队员。这是10名队员的投篮成绩。

多媒体表格的方式补充出示共10个队员的投篮成绩。（图3）

师：这里有校篮球队10个队员的投篮成绩，用分数你们能马上判定谁的投篮最准？

生：（安静了好一会儿）太多了，不能马上比出来,要通分。

师（利用多媒体迅速把10个分数通分，呈现通分后的分数：10个分数的公分母特别大）

生：哇，分数这么大！还是不能一下子看清哪个分数最大。

师：如果用百分数来比较呢？

师适时把10个同学的投篮命中率用百分数呈现。

师：现在你能告诉大家，谁的投篮最准？

……

（片断二）：（百分数的意义教学）

1、说说投篮命中率28%、25%、22%的意义。

引导小结，命中率：（投中个数）是（投篮总数）的百分之几。

2、师：这样的百分数教材中也举了很多。请同学们在教材中选择一个你喜欢的百分数，向大家介绍这个百分数表示什么意思？

理解“安装完成了14%”的意义、“车辆同期销售增长120%”这两个百分数的意义。

师引导小结，同样板书成（    ）是（     ）的百分之几的形式。

3、生活中，像这样的百分数非常多。请你举一个你身边的百分数，说一说它的意义。（老师择机板书成（   ）是（    ）的百分之几。）

 4、师：黑板上有这么多各式各样、大小不同的百分数，请大家思考：上面的这些百分数，有哪些相同的地方？到底什么是百分数？

引导出示百分数表示（一个数）是（另一个数）的百分之几。

……

【第二次讨论】

研究组的老师观课后，一起坐了下来。

第二次的教学实践中，对于感受百分数的优越这一环，老师们都反映：运用多媒体的“图表”形式让学生感受分数和百分数在比较上的不同，由于材料充分，学生已经很明显地感受到了百分数在比较上的优越。这一点，是比较成功的。看来，形态上的“图表”引用在让学生感受“为什么要学习百分数”上是有效的。

可是，在理解概括百分数的意义这一环节中，虽然也列举了不少生活中、数学书中不同的百分数，并把它们具体的意义排列成了一排，从列举的量上来说，应该是够充分了。但是，本次实践中，学生对百分数意义的理解，依靠更多的是对情境图中百分数的模仿迁移，或是对老师引导时小心翼翼的揣测。对到底什么是百分数？也就是百分数的本质意义到底是什么，学生的认识理解不够明晰和深刻。那么，针对我们的学生实际，怎样的教学才能变抽象为形象，变表面为深刻，让学生真正理解百分数的本质意义呢？

【第二次反思】老师们的讨论和学生的回答犹如利器划过心田， 许老师限入了深深的思考。是啊，老师们都知道，百分数的实质其实是一个数和另一个数比较的一种结果，是一种用百分率(百分之几)来反映的比较结果。看到这个百分数，直接想到的是两个量之间的一种比率关系。而学生对于百分数的认识，难道更多的只停留在“有百分号”的认识上吗？都说概念课提供的例子一定要充分，难道这个充分仅仅是指量的增加吗？在量变的基础上如何实现向质的转变，引导学生真正理解百分数本质意义？在此，需要一个把手可视、可思、可支撑。

【采取策略】老师们重新对“借形助数”进行了思考与分析，认为：数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“形”不仅仅是指材料呈现方式上的，即形式上的形，当然还包括各类图像、实物、几何图形等等。如果在百分数的本质理解中，也有合适的“图”来帮助学生理解“百分数是两个量比较结果的一种比率关系”，那么学生对百分数意义的理解将会更加深刻。下面是许老师的第三次实践。

第三次实践：

片断1：（导入教学不变）

片段2：（百分数的意义教学）

形数结合——深刻建构

师：同学们，通过刚才的比较，我们已经知道了2号队员的命中率最高：28%。谁能向大家具体地解释一下，这个28%的意思？

生：28%表示2号队员的投中个数是投篮总个数的28%。

师：如果他投篮的总个数是100个，那他投中的个数是   ？

生齐：28个。

师：我听明白了。命中率28%就是每投100个球，中28个。那如果共投200个球呢，中几个——？1000个球呢，他投中了几个？你是怎么想的？如果投了50个球呢？如果投中了28个，总共投了几个？

师：同学们说得非常好。如果老师用这样的100个方格来表示2号队员的投篮总数，你觉得他投中的数量可以怎么表示？（师出示百格图）

生1：可以横着涂满28格。

生2：竖着涂28格也可以。

生3：横着竖着都可以，无论怎么涂，只要涂上28格就行。

（师用多媒体依次展示了三种不同的涂色方法，每次都涂上28个。）

小结: 28%表示占了100格的28格，无论怎么涂，只要占了这样的大小就行。

师：如果老师用200个小方格表示投篮总数，那么他投中的个数可以怎么表示？（师多媒体演示200格里面涂上56格）

 师：你还有其它的涂法吗？（再演示第二种不同的涂法）

小结：如果用200个方格表示投篮总数，投中的个数只要是56格就行。

师：如果用50个方格表示投篮总数，投中的个数呢？

（多媒体演示50格里涂上14格）

师多媒体一起出示百格图中的28格、200格图中的56格、50格图中的14格。

师：请同学们观察这三幅图中的28%，你有什么发现？

生1：好象是一样的。

生2：涂着色的大小是一样的。

生3：总的格子虽然不同，图中的格子数也不同，但是，从前面看，每幅图中涂色的大小是一样的。

……

师：是呀，总格数和涂色的方格都不同，但是，28%所占的大小是一样的。

师：继续演示：如果用这样的10个方格表示投篮的总数，投中的个数大约是多少？

生答：大约是2个多，3个不到，准确地说是2.8个。

师继续图示：如果把这10格翻转，缩减成这样的一条线段表示投篮的总个数，2号队员投中的个数大概是多少？请你比划比划。

                  投篮总个数

生答略。

师利用多媒体课件把100格图、200格图、50格图、10格图、线段图放在一起，引导学生分析感受：这些图例都可以用28%表示。从而引导小结：命中率28%是（投中个数）和（投篮总数）比较的一种结果，表示（投中个数）占（投篮总数）的28%，反映的是这两个量之间的一种比率关系。

……

如此，在上述的问题情境中，以“问题”为导向，借助直观的格子图、线段图，通过不断的层层追问，进一步深化了学生对百分数意义的认识。在这个过程中，因为有了形象的“图”作为支撑，再通过不断的追问引导，学生在思维上、情感上经历了模糊、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程，对百分数的意义和性质都有了更深切的体会。

而后，教师再引导学生交流了许多生活中常见的百分数素材（如：班级男女生人数百分比、校园绿化覆盖率、电脑下载率等等引导抽象出百分数的意义）

……

【课后收获】第三次实践得到了专家朱乐平老师的肯定与指导。他认为，借形思数是一种有效地建构数学概念的好办法。特别是在“百分数的认识”中，能想到用格子图、线段图帮助学生深刻理解百分数的本质意义更是一次有意义的尝试，在其它的概念教学中，我们也可以引荐。是的，“数形结合”，不仅仅是指形态上的巧妙迁移，更重要的，是要将抽象的数学概念和形象的实物、图形、线段结合起来，变抽象为直观，把抽象的数学概念直观化，同时，又将形的变化慢慢地抽象成数学符号，从而完成了抽象——形象——抽象的数学化过程。看来，用图形这根“拐杖”帮助学生理解抽象的百分数意义是有效且可行的。

【研究启示】

恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简。华罗庚先生也说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数学概念教学中，如何运用数形结合的方法，促进学生更深刻的建构概念、理解概念？通过本次的实践研究，有几点启示：

一、“概念为本”教学的核心，是要有意义的建构概念。

为什么要学习百分数？有了整数、分数、小数、负数，为什么还要学习百分数，学习百分数有什么意义？新课标指出：数学学习活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。要关注学生的持续研究意识。所以，百分数意义的教学，从生活中导入，引导学生探究学习百分数的必要性和意义，让学生真切地感受到，百分数的学习是有意义的，也是必要的。同时，要重视提供生动有趣的、有意义的学习素材，向学生提供充足、丰富而典型的感性材料，引导学生观察比较，丰富自己的感性认识。

二、形数结合，丰富形的内涵。

数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”可以是数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式等等。在实际教学中，以“形”助“数”，形数结合，要根据不同的学习内容，不同的学生，因地制宜。形态上的比较，实物的演示操作，线段、图形的观察分析研究，都可以成为帮助学生理解数学概念的拐杖。

三、及时“数学化”，完整学生概念的建构。

借图形之力，促概念建立。说到底，构建概念是目的，图形只是手段。在引导学生对形进行观察比较的同时，要适时引导学生对形进行分析、思考、概括，从而合理地“数学化”。如第三次实践中，老师在引导学生比较百格图、200格图、50格图时，不断的追问，而后，又不失时机地引导提问：“仔细观察这三幅图中的28%，你有什么发现？”从而让学生从三幅不同的图形中找寻不同点和共同点。学生虽然难以准确言表，但是在这个过程中，学生在不断的思维，不断地感悟，不断接近百分数的本质。如此，扶放有度，形数结合，即是一个去伪存真、不断“数学化”的过程。

当然，借用数形结合帮助学生概念的学习生成，还有许多需要实践与探讨的问题。比如，图形演示，切忌搞得色彩斑斓，应该突出重点，为建构概念服务。比如，怎样借助图形帮助理解其它的分数、小数，甚至数量关系等等，都是我们后续研究的主题。