初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试练习题

九下·第1章综合素质评价

一、单选题(每题3分，共30分)

1．sin 45°的值是(　　)

A.   B.   C．1   D.

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AC的长为(　　)

A．3   B．4   C．5   D．6

3．如图，一个小球从坡脚沿着坡度为1∶2的坡面向上滚动了2 m，此时小球距离地面的高度为(　　)

A．5 m   B．2 m   C．2 m   D. m

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连结BD.若cos∠BDC＝，则BC的长是(　　)

A．10   B．8   C．4    D．2

5．在平面直角坐标系内有一点P，连结OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值是(　　)

A.   B.   C.   D.

6．如图，要测量河两岸相对的两点P，A之间的距离，可以在河岸上取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝300 m，∠PCA＝40°，则P，A之间的距离为(　　)

A．300 sin 40° m  B．300 cos 40° m  C．300 tan 40° m  D．300 tan 50° m

7．如图，Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，已知∠B＝∠B′＝90°，AB＝6，A′B′＝3，

sin  A＝，则A′C′的长为(　　)

A．10   B．3   C．8   D.

8．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A在点P的北偏东30°方向，且距离点P 20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行时到达点B处，那么tan∠ABP的值是(　　)

A.   B．2   C.   D.

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD＝10，弦AC＝6，则cos∠ABC的值为(　　)

A.   B.   

C.   D.

10．如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是(－10，8)，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA边上的点E处，则tan∠DBE等于(　　)

A.   B.   C.   D.

二、填空题(每题4分，共24分)

11．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cos A＝________．

12．如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是________．

13．若tan A＝4，则sin A＝________．

14．如图，在4×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ACB＝________．

15．在△ABC中，tan B＝，AB＝2，AC＝，则BC的长为________．

16．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”(如图所示)，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是130，小正方形的面积是10，则sin θ·cos θ的值是________．

三、解答题(共66分)

17．(6分)计算：0－2cos 45°－＋.

18．(6分)如图，楼房AB建在山坡BC上，其坡度为1∶2，小明从山坡底部C处测得点A的仰角为56.35°，已知山坡的高度BD为10 m，求楼房AB的高度．(注：坡度是指坡面的铅直高度BD与水平宽度CD的比)(结果精确到1 m，参考数据：sin 56.35°≈0.83，cos 56.35°≈0.55，tan 56.35°≈1.50)

19．(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．

(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1.

(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，直接写出∠A2C2B2的正切值．

20．(8分)如图，在矩形 ABCD中，AD＝10，E为BC 上的一点，tan∠AEB＝，ED平分∠AEC.求：

(1)BE的长．

(2)sin∠EDC的值．

21．(8分)如图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上．图②是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝130 mm，支撑板长

CD＝80 mm，底座长DE＝90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且

CB＝40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留到小数点后一位)

(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．

(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度．(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，sin 26.6°≈0.448，cos 26.6°≈0.894，tan 26.6°≈0.501，≈1.732)

22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，tan B＝，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F.

(1)当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD.

(2)当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长．

23．(10分)定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．

【概念理解】

(1)如图①，四边形ABCD是“对补四边形”．

①若∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠D＝________；

②若∠B＝90°，AB＝3，AD＝2，则CD2－CB2＝___________________________.

【拓展提升】

(2)如图②，四边形ABCD是“对补四边形”，当AB＝CB，且∠EBF＝∠ABC时，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明这种关系．

【类比应用】

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB＝CB，DB平分∠ADC.

①求证：四边形ABCD是“对补四边形”；

②连结AC，当∠ABC＝90°，且＝时，求tan∠ACD的值．

24．(12分)已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.

(1)如图①，求证：点A到∠C两边的距离相等．

(2)如图②，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．

①求证：tan∠CAD＝；

②若∠CBD＝30°，AD＝3，求AE的长．

答案

一、1．B　2．B　3．C　4．D　5．C　6．C

7．D　8．A　9．A　10．D

二、11．　12．　13．

14．　15．5或7　16．

三、17．解：原式＝1－2×－4＋－1＝1－－4＋－1＝－4.

18．解：根据题意可知∠ACD＝56.35°，BD∶CD＝1∶2.

∵BD＝10 m，∴CD＝2BD＝20 m.

在Rt△ACD中，AD＝CD·tan∠ACD≈20×1.50＝30(m)，

∴AB＝AD－BD≈30－10＝20(m)．

答：楼房AB的高度约为20 m.

19．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，△A2B2C2即为所求．

∠A2C2B2的正切值为.

20．解：(1)∵ ED平分∠AEC，

∴∠AED＝∠CED.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B＝90°.

∴∠ADE＝∠CED.

∴∠AED＝∠ADE.∴AD＝AE＝10.

∵∠B＝90°，tan∠AEB＝，

∴＝.

设AB＝3k，则BE＝4k，

∴AE＝＝＝5k.

∵AE＝10，∴5k＝10，解得k＝2.

∴AB＝3k＝6，BE＝4k＝8.

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝90°.

∵AD＝10，∴BC＝10.

又∵BE＝8，∴CE＝BC－BE＝2.

∵AB＝6，∴CD＝6.

∴DE＝＝＝2 .

∴sin∠EDC＝＝＝.

21．解：(1)如图，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为点F，过点C作CN⊥DE，垂足为点N，则四边形CFMN是矩形，∴CN＝FM.

由题意可知AC＝AB－CB＝130－40＝90(mm)．

在Rt△CDN中，

CN＝CD·sin∠CDE＝FM，

∵∠CDE＝60°，CD＝80 mm，

∴CN＝FM＝80×＝40 (mm)，

∠DCN＝90°－60°＝30°.

又∵∠DCB＝80°，

∴∠BCN＝80°－30°＝50°.

∵AM⊥DE，CN⊥DE，

∴AM∥CN.∴∠A＝∠BCN＝50°.

∴∠ACF＝90°－50°＝40°.

在Rt△AFC中，AF＝AC·sin 40°≈90×0.643＝57.87(mm)，

∴AM＝AF＋FM≈57.87＋40 ≈127.2(mm)．

答：点A到直线DE的距离约为127.2 mm.

(2)根据题意可知旋转后∠DCB＝80°＋10°＝90°.在Rt△BCD中，

CD＝80 mm，BC＝40 mm，

∴tan ∠CDE＝＝＝.

∴∠CDE≈26.6°.∴CD旋转的角度约为60°－26.6°＝33.4°.

22．(1)证明：∵BD是⊙O的直径，

∴∠DFB＝90°.

∴∠DFC＝90°.

在Rt△CAD和Rt△CFD中，

∴△CAD≌△CFD.

(2)解：∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点是D点或E点．

①若∠EDB＝90°，如图1

图1

在AB上取点D，使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于点E.

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD.

∵∠A＝∠EDB＝90°，

∴AC∥DE.∴∠ACD＝∠CDE.

∴∠ECD＝∠CDE.∴CE＝DE.

此时△CED为等腰三角形，△DEB是直角三角形．设CE＝DE＝x.

∵∠A＝90°，tan B＝，∴＝.

∵AB＝4，∴AC＝3.

∴在Rt△ABC中，

BC＝＝5，

∴BE＝BC－CE＝5－x.

∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC.

∴＝.∴＝，

解得x＝.∴CE＝.

∵DE∥AC，∴＝.

∴＝.∴AD＝.

②若∠DEB＝90°，则∠CED＝90°.

如图2在AB上取点D，使∠DCB＝45°，此时△CED为等腰三角形，即EC＝DE.

图2

设EC＝DE＝y，∵tan B＝，

∴在Rt△BDE中，tan B＝＝.∴BE＝y.

由①可知BC＝5，∴CE＋BE＝5，

∴y＋y＝5.∴y＝.

∴CE＝DE＝.

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，

∴sin B＝＝，

∴在Rt△BDE中，BD＝＝＝.∴AD＝AB－BD＝.

综上所述，AD的长为或.

23．(1)①90°　②5

(2)解：AE＋CF＝EF.

证明：如图，延长EA至点K，使得AK＝CF，连结BK.

∵四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠BAD＋∠C＝180°.

∵∠BAK＋∠BAD＝180°，

∴∠BAK＝∠C.

又∵AK＝CF，AB＝CB，

∴△ABK≌△CBF.

∴∠ABK＝∠CBF，BK＝BF.

∴∠ABK＋∠ABF＝∠CBF＋∠ABF，

即∠KBF＝∠ABC.

∵∠EBF＝∠ABC，

∴∠EBF＝∠KBF.

∴∠EBK＝∠EBF.

又∵BK＝BF，BE＝BE，

∴△BEK≌△BEF.∴EK＝EF.

∵EK＝AE＋AK＝AE＋CF，

∴AE＋CF＝EF.

(3)①证明：如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，作BN⊥CD于点N，

则∠BMA＝∠BNC＝90°.

∵DB平分∠ADC，∴BM＝BN.

又∵AB＝CB，∴Rt△ABM≌Rt△CBN.

∴∠BAM＝∠C.

∵∠BAM＋∠BAD＝180°，

∴∠C＋∠BAD＝180°.

∴四边形ABCD是“对补四边形”．

②解：由①可知四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

∵∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°.

设AD＝a，DC＝b，则

AC2＝AD2＋CD2＝a2＋b2，S△ACD＝AD·DC＝ab.

∵∠ABC＝90°，

∴AB2＋BC2＝AC2.

又∵AB＝BC，

∴AB2＝BC2＝AC2＝(a2＋b2)．

∴S△ABC＝AB·BC＝AB2＝(a2＋b2)．

∵＝，∴＝，

整理，得2－4×＋1＝0，

解得＝2±.

在Rt△ACD中，tan∠ACD＝＝，

∴tan∠ACD＝2±.

24．(1)证明：如图，连结AC.

∵AB＝AD，∴＝.

∴∠ACB＝∠ACD.∴CA平分∠BCD.

∴点A到∠BCD两边的距离相等．

(2)①证明：∵＝，

∴∠CAD＝∠CBD.

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°.

∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝.

如图，过点D作DQ∥EC，交BC的延长线于点Q，

则∠ACB＝∠Q，∠ACD＝∠CDQ.

由(1)可知∠ACB＝∠ACD，

∴∠CDQ＝∠Q.

∴CD＝CQ.

∵CE∥DQ，∴＝.∴＝.

∴tan∠CAD＝.

②解：如图，

由(2)①可知∠CAD＝∠CBD，

∴∠CAD＝30°.

∴tan∠CAD＝＝.

设DE＝a，则BE＝a.

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°.

∵AB＝AD＝3 ，

∴BD＝＝6.

∴a＋a＝6，解得a＝3 －3.

∴DE＝3 －3，BE＝9－3 .

又∵∠BCD＝90°，

∴CD＝BD·sin∠CBD＝6×sin 30°＝3.

∵∠BDC＝∠BAC，∠ABD＝∠ACD，

∴△BAE∽△CDE.

∴＝.

∴＝.

∴AE＝(3 －3)·＝3 －3 .