课后素养落实(十三)　随机变量及其与事件的联系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)

A．取到产品的件数   B．取到正品的概率

C．取到次品的件数   D．取到次品的概率

C　[A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．]

2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)

A．6    B．5  C．4    D．2

B　[由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B．]

3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　)

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

D　[ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]

4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的取值范围为(　　)

A．0≤X≤5，X∈N

B．－5≤X≤0，X∈Z

C．1≤X≤6，X∈N

D．－5≤X≤5，X∈Z

D　[两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．]

5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)

A．X＝4    B．X＝5  C．X＝6    D．X≤4

C　[第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了5回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6．]

二、填空题

6．若随机变量ξ，η之间满足η＝2ξ＋3，若P(ξ＝2)＝0.5，则P(η＝7)＝________．

0.5　[P(η＝7)＝P(ξ＝2)＝0.5．]

7．下列随机变量中是离散型随机变量的有________，是连续型随机变量的有________．(填序号)

①某宾馆每天入住的旅客数量X；

②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；

④虎门大桥一天经过的车辆数是X．

①③④　②　[①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故是连续型随机变量．]

8．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的取值范围是______________________________________．

{300,100，－100，－300}　[可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]

三、解答题

9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．

(1)写出ξ的取值范围；

(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．

[解]　(1)ξ取值范围为{0,1,2,3}．

(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．

1．(多选题)将一颗均匀骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　)

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差

BCD　[两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，故BCD正确，A错误．]

2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)

A．20    B．24  C．4    D．18

B　[由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．]

3．已知随机变量X的取值范围为{1,2,3}，且满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，随机变量Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝________．

　[由题意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝．]

某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．某选手抽到科技类题目ξ道．

(1)试求出随机变量ξ的取值；

(2)“ξ＝1”表示的事件是什么？可能出现多少种结果？

[解]　(1)由题意得ξ的取值是{0,1,2,3}．

(2)“ξ＝1”表示的事件是“恰抽到一道科技题”．

考虑顺序，三类题目各抽取一道有

5×3×2×A＝180种结果；

1道科技题2道文史题有

3×3×A＝180种结果；

1道科技题2道体育题有

3×3×2＝18种结果．

由分类加法计数原理知可能出现

180＋180＋18＝378种结果．