4.2.2　离散型随机变量的分布列

人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而病毒核酸检验试剂盒的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间．

在某疑似病人的确诊中，令X＝

问题：如果检验成阳性的概率为P，你能写出随机变量X的分布列吗？

[提示]　

知识点1　离散型随机变量的分布列

(1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．

离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．

(2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图(2)中，xk上的线段长为pk．

图(1)

图(2)

(3)离散型随机变量的分布列必须满足：

①pk≥0，k＝1,2，…，n；

②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1．

1．如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？

[提示]　离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　)

A．

B．

C．

D．

D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，P(ξi)＝1．

A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；

C中P(ξi)＝＋＋＝＞1．]

2．若离散型随机变量X的分布列为

则a＝________，P(X≥1)＝________．

　　[由2a＋3a＋5a＝1得a＝．

∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．]

知识点2　两点分布

(1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：

则称随机变量X服从参数为p的两点分布．

(2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．

2．如何判断一个分布是否为两点分布？

[提示]　(1)看取值：随机变量只取两个值0和1．

(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．

如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．

3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________．

0.8　[由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，

∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8．]

类型1　分布列及其性质的应用

【例1】　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：

(1)P(X＝1或X＝2)；

(2)P．

[思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率．

[解]　(1)∵i＝＋＋＋＝1，∴a＝10，

则P(X＝1或X＝2)

＝P(X＝1)＋P(X＝2)

＝＋＝．

(2)由a＝10，

可得P

＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)

＝＋＋＝．

利用分布列及其性质解题时要注意两个问题

1．X的各个取值表示的事件是互斥的．

2．不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n．

1．若随机变量X的概率分布如表所示，则表中的a的值为________，P(X≥3)＝________．

　　[由题意可知

＋＋＋a＝1，

∴a＝．

P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．]

类型2　求离散型随机变量的分布列

　求离散型随机变量y＝f(ξ)的分布列

【例2】　已知随机变量ξ的分布列为

分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．

[解]　由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，所以η1的分布列为

由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率，即与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率，即与的和，所以η2的分布列为

已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝fξ的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.

2．已知随机变量ξ的分布列为

分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列．

[解]　由η1＝－ξ＋，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相应的概率值为，，，，，．

故η1的分布列为

由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3．

所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝，

P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝．

故η2的分布列为

　借助排列、组合求离散型随机变量的分布列

【例3】　(对接教材P67例1)同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．

[思路点拨]　

[解]　同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表．

由古典概型可知X的分布列为

1．求离散型随机变量的分布列的步骤

(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2,3,4…，n)．

(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi．

(3)列出表格．

2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题

(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．

3．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．

[解]　从箱中取两个球的情形有以下6种：

{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．

当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；

当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；

当取到1白1黑时，随机变量X＝1；

当取到2黄时，X＝0；

当取到1黑1黄时，X＝2；

当取到2黑时，X＝4．

则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．

P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝．

从而得到X的分布列：

类型3　两点分布

1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？

[提示]　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．

2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？

[提示]　不一定．如随机变量X的分布列由下表给出

X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1．

【例4】　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．

[思路点拨]　X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．

[解]　由题设可知X服从两点分布．

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．

∴X的分布列为

在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率.

4．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝(　　)

A．0    B．  C．    D．

C　[由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝．]

1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　)

A．－0.2    B．0.2  C．0.1    D．－0.1

B　[由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2．]

2．设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)

A．0.3    B．0.4  C．0.6    D．0.7

A　[由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．

又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3．]

3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)

A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝

D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

A　[选项A中随机变量X的可取值有6个，不服从两点分布．]

4．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为

则a＝________，b＝________．

　　[X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝．]

5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________．

　　[P(ξ>8)＝×8＝，

P(6<ξ≤14)＝×8＝．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．表示离散型随机变量分布列的常用形式有哪些？它们有何优、缺点？

[提示]　离散型随机变量的分布列和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、解析式或图像来表示．

用表格表示分布列的优点是能直观得到随机变量X取各个不同值的概率，缺点是当取值比较多时，不容易制作表格，也不容易从表中查取需要的概率，表格法是今后学习中主要使用的方法；

用解析式表示分布列的优点是能精确表达X取各个不同值的概率，便于应用数学工具对这些概率值进行分析，缺点是不直观；

用图像表示分布列的优点是能直观表现X取各个不同值的概率，缺点是不能精确表示这些概率．

2．如何由分布列求随机事件的概率？

[提示]　对于随机变量X来说，它的概率分布指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．由于随机变量各个可能值表示的事件是彼此互斥的，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．